Identifique em quais intervalos a função dada é decrescente ou crescente: f(x) = 2x^3 - 15x^2 - 84x + 13; crescente em (-infinito, -2) U (7, infinito) e decrescente em -2,7

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é descobrir onde a função está crescendo ou diminuindo. Isso faz parte do cálculo, especificamente do estudo de derivadas. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar onde essa derivada é zero (os chamados pontos críticos) e analisar o comportamento da função nesses intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, se a função está subindo ou descendo em determinado ponto. Para derivar, usamos as regras básicas de derivação para polinômios:
Calculando cada termo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de onde a derivada é zero ou não existe. Como nossa derivada é um polinômio, ela existe para todos os , então vamos igualar a derivada a zero:
Podemos simplificar dividindo tudo por 6:
Agora, resolvemos essa equação quadrática. Usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Com os pontos críticos e , vamos dividir a reta real em três intervalos para testar o sinal da derivada em cada um:
Vamos escolher um número de teste em cada intervalo e substituir na derivada para ver se a derivada é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente).
  • Intervalo : Vamos escolher .
    Derivada positiva → função está crescendo.
  • Intervalo : Vamos escolher .
    Derivada negativa → função está decrescendo.
  • Intervalo : Vamos escolher .
    Derivada positiva → função está crescendo.

Resposta

A função está crescente nos intervalos e , e decrescente no intervalo .

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