Identifique em quais intervalos a função dada é decrescente ou crescente:
; crescente em
e decrescente em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é descobrir onde a função
está crescendo ou diminuindo. Isso faz parte do cálculo, especificamente do estudo de derivadas. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar onde essa derivada é zero (os chamados pontos críticos) e analisar o comportamento da função nesses intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, se a função está subindo ou descendo em determinado ponto. Para derivar, usamos as regras básicas de derivação para polinômios:
Calculando cada termo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de
onde a derivada é zero ou não existe. Como nossa derivada
é um polinômio, ela existe para todos os
, então vamos igualar a derivada a zero:
Podemos simplificar dividindo tudo por 6:
Agora, resolvemos essa equação quadrática. Usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Com os pontos críticos
e
, vamos dividir a reta real em três intervalos para testar o sinal da derivada em cada um:
Vamos escolher um número de teste em cada intervalo e substituir na derivada
para ver se a derivada é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente).
-
Intervalo
: Vamos escolher . Derivada positiva → função está crescendo. -
Intervalo
: Vamos escolher . Derivada negativa → função está decrescendo. -
Intervalo
: Vamos escolher . Derivada positiva → função está crescendo.
Resposta
A função
está crescente nos intervalos
e
, e decrescente no intervalo
.