Determine os valores de máximo e mínimo absolutos de: f(x) = x^2 + 1, -1 <= x <= 2; máximo 5 , mínimo 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função no intervalo . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções quadráticas e como encontrar seus extremos dentro de um intervalo específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Essa é uma função quadrática, que tem a forma geral . No nosso caso, , e . Funções quadráticas têm um gráfico em forma de parábola.

Passo 3

Como o coeficiente é positivo ( ), a parábola abre para cima. Isso significa que ela possui um ponto mínimo, mas não um máximo global. Porém, como estamos trabalhando em um intervalo limitado ( ), precisamos verificar os valores da função nas extremidades desse intervalo para determinar o máximo e o mínimo absolutos dentro desse intervalo.

Passo 4

Vamos calcular o valor de nos pontos críticos, ou seja, nos valores que fazem a derivada igual a zero, e também nos extremos do intervalo e .
Primeiro, encontramos a derivada de :
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto crítico:
Então, o ponto crítico é . Vamos calcular o valor da função nesse ponto:

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor da função nas extremidades do intervalo:
Para :
Para :

Passo 6

Analisando os valores calculados:
  • Em ,
  • Em ,
  • Em ,
O menor valor é 1 e o maior valor é 5 dentro do intervalo .

Resposta

Máximo absoluto: 5 \
Mínimo absoluto: 1

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