Calcule f^{\prime}(x) em cada caso:
f(x)=\frac{x^{3}-7}{\operatorname{sec} \left(x^{2}+1\right)}\

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{x^{3}-7}{\operatorname{sec}\bigl(x^{2}+1\bigr)},
e pede f'(x). Aqui vamos usar a identidade \operatorname{sec}(u)=1/\cos(u), a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Usando \operatorname{sec}(u)=1/\cos(u), reescrevemos
f(x)=(x^{3}-7)\,\cos\bigl(x^{2}+1\bigr).
Agora identificamos um produto de duas funções: g(x)=x^{3}-7 e h(x)=\cos\bigl(x^{2}+1\bigr).

Passo 3

Pela regra do produto,
f'(x)=g'(x)\,h(x)+g(x)\,h'(x).
Como g'(x)=3x^{2}, temos
f'(x)=3x^{2}\,\cos\bigl(x^{2}+1\bigr)+(x^{3}-7)\,h'(x).

Passo 4

Para achar h'(x), aplicamos a regra da cadeia em
h(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr), \quad u(x)=x^{2}+1.
Temos
h'(x)=-\sin\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x) =-\sin\bigl(x^{2}+1\bigr)\cdot 2x =-2x\,\sin\bigl(x^{2}+1\bigr).

Passo 5

Substituindo h'(x) em f'(x) e simplificando, obtém-se
f'(x) =3x^{2}\,\cos\bigl(x^{2}+1\bigr) +(x^{3}-7)\bigl(-2x\,\sin(x^{2}+1)\bigr) =3x^{2}\cos\bigl(x^{2}+1\bigr)-2x(x^{3}-7)\sin\bigl(x^{2}+1\bigr).

Resposta

\boxed{f'(x)=3x^{2}\cos\bigl(x^{2}+1\bigr)-2x(x^{3}-7)\sin\bigl(x^{2}+1\bigr).}

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