Calcule f^prime(x), para cada uma das funções f(x) dadas abaixo, cumprindo as seguintes etapas
a) f(x)=17-6 x b) f(x)=7 x^2-5 c) f(x)=x^3+2 x d) f(x)=raizx e) f(x)=1x+5 f) f(x)=x^5 g) f(x)=6x^2 i) Primeiro desenvolva a expressão De<a f=f(x+De<a x)-f(x), fazendo as simplificações cabíveis. ii) Em seguida obtenha, uma expressão simplificada para De<a fDe<a x=f(x+De<a x)-f(x)De<a x. iii) Finalmente, calcule o limite lim De<a x 0 De<a fDe<a x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de cada função f(x) usando a definição de derivada pela diferença increment De<a x:
f'(x)=limDe<a xto0f(x+De<a x)-f(x)De<a x
Vamos, para cada função, (i) determinar De<a f=f(x+De<a x)-f(x), (ii) simplificar De<a fDe<a x e (iii) tomar o limite De<a xto0.

Passo 2

Para f(x)=17-6x:
De<a f = l[17-6(x+De<a x)r] - (17-6x) = -6De<a x,
De<a fDe<a x = -6,
f'(x)=limDe<a xto0(-6)= -6

Passo 3

Para f(x)=7x^2-5:
De<a f = 7l[(x+De<a x)^2-x^2r] =7l(2xDe<a x+De<a x^2r) =14x,De<a x +7De<a x^2,
De<a fDe<a x=14x+7De<a x,
f'(x)=limDe<a xto0(14x+7De<a x)=14x

Passo 4

Para f(x)=x^3+2x:
De<a f = (x+De<a x)^3-x^3+2l[(x+De<a x)-xr] =l(3x^2De<a x+3xDe<a x^2+De<a x^3r)+2De<a x,
De<a f=(3x^2+2)De<a x+3xDe<a x^2+De<a x^3, De<a fDe<a x=3x^2+2+3xDe<a x+De<a x^2,
f'(x)=limDe<a xto0l(3x^2+2+3xDe<a x+De<a x^2r)=3x^2+2

Passo 5

Para f(x)=raizx:
De<a f=raizx+De<a x-raizx,
racionalizando,
De<a f=(x+De<a x)-xraizx+De<a x+raizx =De<a xraizx+De<a x+raizx,
De<a fDe<a x =1raizx+De<a x+raizx, f'(x)=limDe<a xto01raizx+De<a x+raizx =12raizx

Passo 6

Para f(x)=1x+5:
De<a f =1x+5+De<a x-1x+5 =(x+5)-(x+5+De<a x)(x+5+De<a x)(x+5) =-De<a x(x+5+De<a x)(x+5),
De<a fDe<a x =-1(x+5+De<a x)(x+5), f'(x)=limDe<a xto0l[-tfrac1(x+5+De<a x)(x+5)r] =-1(x+5)^2

Passo 7

Para f(x)=x^5:
De<a f=(x+De<a x)^5-x^5 =5x^4De<a x+10x^3De<a x^2+10x^2De<a x^3+5xDe<a x^4+De<a x^5,
De<a fDe<a x =5x^4+10x^3De<a x+10x^2De<a x^2+5xDe<a x^3+De<a x^4,
f'(x)=limDe<a xto0(5x^4+dots+De<a x^4)=5x^4

Passo 8

Para f(x)=6x^2=6x^-2:
De<a f =6l[(x+De<a x)^-2-x^-2r] =-6,(2x+De<a x),De<a xx^2(x+De<a x)^2,
De<a fDe<a x =-6,2x+De<a xx^2(x+De<a x)^2, f'(x)=limDe<a xto0l[-6,2x+De<a xx^2(x+De<a x)^2r] =-12xx^4=-12x^3

Resposta

a) f'(x)=-6
b) f'(x)=14x
c) f'(x)=3x^2+2
d) f'(x)=tfrac12raizx
e) f'(x)=-tfrac1(x+5)^2
f) f'(x)=5x^4
g) f'(x)=-tfrac12x^3

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