Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
O problema pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por
com as condições iniciais
e
. O conteúdo envolvido é equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes e vamos usar o método da equação característica para chegar à solução geral e depois ajustar pelas condições iniciais.
Passo 2
Para resolver, assumimos uma solução do tipo
. Substituindo na equação diferencial temos
Dividindo por
(que nunca é zero) chegamos à equação característica
que fatorada fica
, cujas raízes são
e
.
Passo 3
Como as raízes
e
são reais e distintas, a teoria diz que a solução geral é a combinação linear de
e
. Logo,
Passo 4
Para aplicar as condições iniciais, precisamos da derivada
. Derivando a solução geral:
Passo 5
Agora usam-se
e
:
- De
, temos . - De
, obtemos .
Substituindona primeira equação dá .
Resposta
A solução do problema de valor inicial é