Resolva o problema de valor inicial
y^prime prime+y^prime=0 ; y(0)=3, y^prime(0)=1

Passo 1

O problema pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por
y'' + y' = 0,
com as condições iniciais y(0)=3 e y'(0)=1. O conteúdo envolvido é equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes e vamos usar o método da equação característica para chegar à solução geral e depois ajustar pelas condições iniciais.

Passo 2

Para resolver, assumimos uma solução do tipo y=e^r x. Substituindo na equação diferencial temos
r^2 e^r x + r e^r x = 0
Dividindo por e^r x (que nunca é zero) chegamos à equação característica
r^2 + r = 0
que fatorada fica r(r+1)=0, cujas raízes são r1=0 e r2=-1.

Passo 3

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a teoria diz que a solução geral é a combinação linear de e^r1 x e e^r2 x. Logo,
y(x) = C1 e^0,x + C2 e^-x = C1 + C2 e^-x

Passo 4

Para aplicar as condições iniciais, precisamos da derivada y'(x). Derivando a solução geral:
y'(x) = 0 + C2 cdot (-e^-x) = -C2 e^-x

Passo 5

Agora usam-se y(0)=3 e y'(0)=1:
  • De y(0)=C1 + C2 = 3, temos C1 + C2 = 3.
  • De y'(0) = -C2 = 1, obtemos C2 = -1.
    Substituindo C2 na primeira equação dá C1 = 3 - (-1) = 4.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(x) = 4 - e^-x

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