Resolva as equações diferenciais abaixo:
y^prime=(y-1)^2 ; y(0) neq 1

Passo 1

Estamos com a equação diferencial
y' = (y-1)^2,
que é do tipo separável. Ou seja, podemos escrever todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro.

Passo 2

Separamos as variáveis:
dy(y-1)^2 = dx

Passo 3

Integramos os dois lados. Do lado esquerdo usamos integral (y-1)^-2dy = -(y-1)^-1, e do lado direito integral dx = x + C. Logo
-(y-1)^-1 = x + C

Passo 4

Isolamos y. Primeiro invertemos o sinal e o inverso:
1y-1 = -,l(x + Cr) = C' - x,
onde C' = -C é uma constante qualquer. Em seguida
y-1 = 1C' - x Longrightarrow y(x) = 1 + 1C' - x

Passo 5

Como y(0)neq1, podemos chamar y(0)=y0. Avaliando em x=0 temos
y0 = 1 + 1C' Longrightarrow C' = 1y0 - 1
Portanto a solução que satisfaz y(0)=y0 é
y(x) = 1 + 11y0 - 1 - x

Resposta

A família geral de soluções é
y(x) = 1 + 1C - x,
com C constante.
Para a condição inicial y(0)=y0neq1, toma-se C = 1/(y0 - 1), resultando em
y(x) = 1 + 1tfrac1y0 - 1 - x

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