Verifique as conclusões do Teorema de Clairaut são verdadeiras, ou seja, ux y=uy x.
4) u=x cdot y cdot e^y

Passo 1

O enunciado nos dá a função
u(x,y)=x,y,e^y
e pede para verificar o Teorema de Clairaut, ou seja, mostrar que
partial^2 upartial y,partial x(x,y) = partial^2 upartial x,partial y(x,y)
Para isso vamos calcular as derivadas parciais primeiras e depois as segundas, aplicando regra do produto e cadeia.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de u em relação a x, tratando y como constante:
partial upartial x(x,y) = partialpartial xl(x,y,e^yr) = y,e^y

Passo 3

Calcular a derivada mista partial^2u/(partial y,partial x) derivando partial u/partial x em relação a y:
partial^2 upartial y,partial x(x,y) = partialpartial yl(y,e^yr) = e^y + y,e^y = (1+y),e^y

Passo 4

Calcular a derivada parcial de u em relação a y, tratando x como constante e usando regra do produto para y,e^y:
partial upartial y(x,y) = x ,ddyl(y,e^yr) = x,(e^y + y,e^y) = x,(1+y),e^y

Passo 5

Calcular a derivada mista partial^2u/(partial x,partial y) derivando partial u/partial y em relação a x:
partial^2 upartial x,partial y(x,y) = partialpartial xl(x,(1+y),e^yr) = (1+y),e^y

Passo 6

Comparando os resultados obtidos:
partial^2 upartial y,partial x(x,y) = (1+y),e^y e partial^2 upartial x,partial y(x,y) = (1+y),e^y,
vemos que elas coincidem, confirmando o Teorema de Clairaut.

Resposta

uxy(x,y)=uyx(x,y)=(1+y),e^y

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