Calcule:
f^{\prime}(1) se f(y)=\int_{4}^{\int_{1}^{y} e^{t^{3}} d t} \cos \left(1+s^{2}\right) d s;

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(y)=\displaystyle \int_{4}^{\;\displaystyle \int_{1}^{y} e^{t^{3}}\,dt}\cos\bigl(1+s^{2}\bigr)\,ds
e pede f'(1).
O conteúdo envolve o Teorema Fundamental do Cálculo (derivada de integral em que o limite depende de y) e a Regra da Cadeia.

Passo 2

Defina
g(y)=\int_{1}^{y}e^{t^{3}}\,dt,
para que
f(y)=\int_{4}^{g(y)}\cos\bigl(1+s^{2}\bigr)\,ds.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de
\displaystyle F(u)=\int_{4}^{u}\cos(1+s^{2})\,ds
é
F'(u)=\cos\bigl(1+u^{2}\bigr).
Aplicando Regra da Cadeia em f(y)=F\bigl(g(y)\bigr), obtemos
f'(y)=F'\bigl(g(y)\bigr)\,g'(y) =\cos\bigl(1+(g(y))^{2}\bigr)\;g'(y).
Como
g'(y)=\frac{d}{dy}\int_{1}^{y}e^{t^{3}}\,dt =e^{y^{3}},
temos
f'(y)=\cos\bigl(1+(g(y))^{2}\bigr)\,e^{y^{3}}.

Passo 3

Para y=1,
g(1)=\int_{1}^{1}e^{t^{3}}\,dt=0,
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f'(1)=\cos\bigl(1+0^{2}\bigr)\,e^{1^{3}} =e\cos(1).

Resposta

f'(1)=e\cos(1)

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