Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
y(x)=\log \left(2+\operatorname{sen}\left(x^{2}-\pi\right)\right)+\int_{\sqrt{\pi}}^{x} \cos \left(s^{2}\right) d s
no ponto (\sqrt{\pi}, \quad \log 2).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y(x)=\log\bigl(2+\operatorname{sen}(x^{2}-\pi)\bigr)+\int_{\sqrt{\pi}}^{x}\cos(s^{2})\,ds
e pede a equação da reta tangente no ponto \bigl(\sqrt{\pi},\log2\bigr).
Para isso vamos usar duas ideias: a regra da cadeia para derivar o \log composto e o Teorema Fundamental do Cálculo para a integral definida.

Passo 2

Derivando o termo logarítmico, seja
u(x)=2+\operatorname{sen}(x^{2}-\pi),
então
\frac{d}{dx}\log\bigl(u(x)\bigr) =\frac{1}{u(x)}\,u'(x).
Como
u'(x)=\cos(x^{2}-\pi)\cdot\frac{d}{dx}(x^{2}-\pi) =2x\,\cos(x^{2}-\pi),
vem
\frac{d}{dx}\log\bigl(2+\operatorname{sen}(x^{2}-\pi)\bigr) =\frac{2x\,\cos(x^{2}-\pi)}{2+\operatorname{sen}(x^{2}-\pi)}.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de
\int_{\sqrt{\pi}}^{x}\cos(s^{2})\,ds
é simplesmente o integrando avaliado em s=x, ou seja
\frac{d}{dx}\int_{\sqrt{\pi}}^{x}\cos(s^{2})\,ds =\cos(x^{2}).

Passo 4

Somando os dois pedaços, a derivada de y(x) é
y'(x) =\frac{2x\,\cos(x^{2}-\pi)}{2+\operatorname{sen}(x^{2}-\pi)}+\cos(x^{2}).
No ponto x_{0}=\sqrt{\pi} temos x_{0}^{2}-\pi=0, logo \sen0=0 e \cos0=1, e também \cos(x_{0}^{2})=\cos\pi=-1. Assim
y'(\sqrt{\pi}) =\frac{2\sqrt{\pi}\cdot1}{2+0}+(-1) =\sqrt{\pi}-1.

Passo 5

A reta tangente no ponto \bigl(x_{0},y_{0}\bigr)=\bigl(\sqrt{\pi},\log2\bigr) tem equação ponto-de-reta
y - y_{0} =m\,(x - x_{0}),
onde m=y'(\sqrt{\pi})=\sqrt{\pi}-1. Portanto
y-\log2=(\sqrt{\pi}-1)\bigl(x-\sqrt{\pi}\bigr).

Resposta

A equação da reta tangente é
y-\log2=(\sqrt{\pi}-1)\bigl(x-\sqrt{\pi}\bigr).

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