Considere g(x)=\int_{0}^{e^{2 x}} \operatorname{sen}\left(t^{2}\right) d t. Calcule g^{\prime}(x).

Passo 1

O enunciado define
g(x)=\int_{0}^{e^{2x}}\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt
e pede g'(x). Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que
\frac{d}{dx}\int_{a}^{u(x)}f(t)\,dt=f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x),
juntamente com a Regra da Cadeia para u(x)=e^{2x}.

Passo 2

Identificamos u(x)=e^{2x}. Então, pela Regra da Cadeia,
u'(x)=\frac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x}.

Passo 3

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, temos
g'(x) =\sin\bigl(u(x)^{2}\bigr)\,u'(x) =\sin\bigl((e^{2x})^{2}\bigr)\cdot2e^{2x} =2e^{2x}\,\sin\bigl(e^{4x}\bigr).

Resposta

g'(x)=2e^{2x}\,\sin\bigl(e^{4x}\bigr).

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