Calcule:
g^{\prime}(8) se g(y)=\int_{y}^{5}\left(\int_{8}^{x} \log \left(t^{3}+1\right) d t\right) d x.

Passo 1

O enunciado nos dá
g(y)=\int_{y}^{5}\Bigl(\int_{8}^{x}\log\bigl(t^{3}+1\bigr)\,dt\Bigr)\,dx
e pede g'(8). Aqui vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo junto com a regra de derivação de integrais cujos limites dependem da variável (regra de Leibniz).

Passo 2

Para facilitar, definimos
f(x)=\int_{8}^{x}\log\bigl(t^{3}+1\bigr)\,dt,
de modo que
g(y)=\int_{y}^{5}f(x)\,dx.

Passo 3

Pela regra de derivação de uma integral com limite inferior variável, temos
\frac{d}{dy}\int_{y}^{5}f(x)\,dx = -\,f(y).
Logo
g'(y) = -\,f(y) = -\int_{8}^{y}\log\bigl(t^{3}+1\bigr)\,dt.

Passo 4

Basta agora avaliar em y=8:
g'(8) = -\int_{8}^{8}\log\bigl(t^{3}+1\bigr)\,dt = -\,0 = 0.

Resposta

0

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