Resolva os seguintes problemas de valor inicial e verifique o comportamento da solução quando
.
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede (tudo que peguei do enunciado).
- Equação diferencial com condição inicial:
- O que é pedido:
- Encontrar a solução
válida para . - Verificar o comportamento de
quando .
- Encontrar a solução
Passo 2
Identificar o tipo de equação e colocá-la na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem.
- A equação tem a forma
. Dividindo por (válido porque ) obtemos a forma padrão
- Aqui podemos identificar
e . Para equações lineares de primeira ordem
usa-se o fator integrante
. Vou explicar por que: multiplicando ambos os lados por
conseguimos transformar a equação na forma
, porque
e
.
Passo 3
Calcular o fator integrante
.
- Calcular a integral de
:
- Exponenciando:
- Nota útil: a condição
garante que está bem definida e .
Passo 4
Multiplicar a equação padrão pelo fator integrante e reconhecer a derivada do produto.
- Multiplicando
por obtemos
- Observação: o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, pois
- Portanto a equação fica
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
.
- Integrando:
onde
é a constante de integração que será determinada pela condição inicial.
Passo 6
Calcular a integral
por partes, passo a passo.
- Escolha para integração por partes:
e . Então e . - Pela fórmula
:
- E
. Logo
Passo 7
Substituir a integral obtida e escrever a solução geral.
- Substituindo em
(onde já absorvemos constantes) temos
- Dividindo por
(lembrando ):
- Essa é a solução geral (com constante
) válida para .
Passo 8
Aplicar a condição inicial
para determinar
.
- Avaliando
em :
- Usar
e . Assim
- Calcular
, então . Assim
- Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 9
Escrever a solução particular com a constante determinada e simplificar a expressão.
- Substituindo
em
obtém-se
- Podemos agrupar os termos em
se desejar:
Passo 10
Verificar o comportamento de
quando
.
- Observações úteis:
e são funções limitadas (estão entre e ). A constante é finita. - Portanto
quando e e quando . - Assim, somando limites:
- Comentário intuitivo: a componente dominante para grandes
é , que oscila mas tem amplitude decrescente como , por isso a solução tende a zero.