Resolva os seguintes problemas de valor inicial e verifique o comportamento da solução quando t \rightarrow \infty.
t y^{\prime}(t)+2 y(t)= operatorname{sen} t, y(\pi / 2)=1, t>0

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede (tudo que peguei do enunciado).
  • Equação diferencial com condição inicial: t\,y'(t)+2\,y(t)=\sin t,\qquad y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,\qquad t>0.
  • O que é pedido:
    1. Encontrar a solução y(t) válida para t>0.
    2. Verificar o comportamento de y(t) quando t\to\infty.

Passo 2

Identificar o tipo de equação e colocá-la na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem.
  • A equação tem a forma \;t\,y'(t)+2\,y(t)=\sin t\;. Dividindo por t (válido porque t>0) obtemos a forma padrão
y'(t)+\frac{2}{t}\,y(t)=\frac{\sin t}{t}.
  • Aqui podemos identificar p(t)=\dfrac{2}{t} e q(t)=\dfrac{\sin t}{t}. Para equações lineares de primeira ordem
y'+p(t)y=q(t)
usa-se o fator integrante \mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right). Vou explicar por que: multiplicando ambos os lados por \mu conseguimos transformar a equação na forma (\mu y)'=\mu q, porque (\mu y)'=\mu y'+\mu' y e \mu'=\mu p.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(t).
  • Calcular a integral de p(t)=\dfrac{2}{t}:
\int p(t)\,dt=\int \frac{2}{t}\,dt=2\ln t.
  • Exponenciando:
\mu(t)=\exp(2\ln t)=(\exp(\ln t))^{2}=t^{2}.
  • Nota útil: a condição t>0 garante que \ln t está bem definida e \mu(t)=t^2>0.

Passo 4

Multiplicar a equação padrão pelo fator integrante e reconhecer a derivada do produto.
  • Multiplicando y'+\dfrac{2}{t}y=\dfrac{\sin t}{t} por \mu(t)=t^2 obtemos
t^2 y'(t)+2t\,y(t)=t\sin t.
  • Observação: o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto t^2 y(t), pois
\frac{d}{dt}\big(t^2 y(t)\big)=t^2 y'(t)+2t\,y(t).
  • Portanto a equação fica
\frac{d}{dt}\big(t^2 y(t)\big)=t\sin t.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a t.
  • Integrando:
t^2 y(t)=\int t\sin t\,dt + C,
onde C é a constante de integração que será determinada pela condição inicial.

Passo 6

Calcular a integral \int t\sin t\,dt por partes, passo a passo.
  • Escolha para integração por partes: u=t e dv=\sin t\,dt. Então du=dt e v=-\cos t.
  • Pela fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int t\sin t\,dt = t(-\cos t) - \int (-\cos t)\,dt = -t\cos t + \int \cos t\,dt.
  • E \int \cos t\,dt=\sin t. Logo
\int t\sin t\,dt = -t\cos t + \sin t + \text{const.}

Passo 7

Substituir a integral obtida e escrever a solução geral.
  • Substituindo em t^2 y(t)=\int t\sin t\,dt + C (onde já absorvemos constantes) temos
t^2 y(t) = -t\cos t + \sin t + C.
  • Dividindo por t^2 (lembrando t>0):
y(t) = -\frac{\cos t}{t} + \frac{\sin t}{t^2} + \frac{C}{t^2}.
  • Essa é a solução geral (com constante C) válida para t>0.

Passo 8

Aplicar a condição inicial y\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1 para determinar C.
  • Avaliando y em t=\dfrac{\pi}{2}:
y\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\cos(\pi/2)}{\pi/2} + \frac{\sin(\pi/2)}{(\pi/2)^2} + \frac{C}{(\pi/2)^2}.
  • Usar \cos(\pi/2)=0 e \sin(\pi/2)=1. Assim
1 = 0 + \frac{1}{(\pi/2)^2} + \frac{C}{(\pi/2)^2}.
  • Calcular (\pi/2)^2=\dfrac{\pi^2}{4}, então \dfrac{1}{(\pi/2)^2}=\dfrac{4}{\pi^2}. Assim
1 = \frac{4}{\pi^2} + \frac{4C}{\pi^2} = \frac{4}{\pi^2}(1+C).
  • Multiplicando ambos os lados por \dfrac{\pi^2}{4}:
1+C = \frac{\pi^2}{4}\quad\Rightarrow\quad C=\frac{\pi^2}{4}-1.

Passo 9

Escrever a solução particular com a constante determinada e simplificar a expressão.
  • Substituindo C=\dfrac{\pi^2}{4}-1 em
y(t) = -\frac{\cos t}{t} + \frac{\sin t}{t^2} + \frac{C}{t^2},
obtém-se
y(t) = -\frac{\cos t}{t} + \frac{\sin t}{t^2} + \frac{\dfrac{\pi^2}{4}-1}{t^2}.
  • Podemos agrupar os termos em 1/t^2 se desejar:
y(t) = -\frac{\cos t}{t} + \frac{\sin t + \dfrac{\pi^2}{4}-1}{t^2}.

Passo 10

Verificar o comportamento de y(t) quando t\to\infty.
  • Observações úteis: \cos t e \sin t são funções limitadas (estão entre -1 e 1). A constante C=\dfrac{\pi^2}{4}-1 é finita.
  • Portanto \dfrac{\cos t}{t}\to 0 quando t\to\infty e \dfrac{\sin t}{t^2}\to 0 e \dfrac{C}{t^2}\to 0 quando t\to\infty.
  • Assim, somando limites:
\lim_{t\to\infty} y(t)=0.
  • Comentário intuitivo: a componente dominante para grandes t é -\dfrac{\cos t}{t}, que oscila mas tem amplitude decrescente como 1/t, por isso a solução tende a zero.

Resposta

y(t)=-\frac{\cos t}{t}+\frac{\sin t+\dfrac{\pi^{2}}{4}-1}{t^{2}},\qquad t>0
\lim_{t\to\infty}y(t)=0

Exercícios relacionados