Calcule
, onde
nos seguintes casos:
(a)
;
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que é sobre calcular a derivada de funções compostas. Aqui, a gente tem uma função $ g(t) = f \circ \alpha(t) $, onde $ f(x, y) $ e $ \alpha(t) $ são dadas. Vamos precisar usar a regra da cadeia pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que temos:
- A função $ f $ é $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} - 2xy $.
- A função $ \alpha $ é $ \alpha(t) = (\sin(2t), \cos(2t)) $.
Então, $ g(t) = f(\alpha(t)) = f(\sin(2t), \cos(2t)) $.
Passo 3
Vamos escrever $ g(t) $ substituindo $ x $ e $ y $ por $ \sin(2t) $ e $ \cos(2t) $, respectivamente:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa expressão. Sabemos que $ \sin^{2}(2t) + \cos^{2}(2t) = 1 $ (identidade trigonométrica) e que $ 2 \sin(2t) \cos(2t) = \sin(4t) $. Então:
Passo 5
Para encontrar a derivada $ g’(t) $, vamos derivar cada termo separado:
Portanto:
Resposta
A derivada de $ g(t) $ é $ g^{\prime}(t) = -4 \cos(4t) $.