Calcule g^prime(t), onde g(t)=f circ alpha(t) nos seguintes casos:
(a) f(x, y)=x^2+y^2-2 x y, alpha(t)=(sen(2 t), cos (2 t));

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que é sobre calcular a derivada de funções compostas. Aqui, a gente tem uma função $ g(t) = f \circ \alpha(t) $, onde $ f(x, y) $ e $ \alpha(t) $ são dadas. Vamos precisar usar a regra da cadeia pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que temos:
  • A função $ f $ é $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} - 2xy $.
  • A função $ \alpha $ é $ \alpha(t) = (\sin(2t), \cos(2t)) $.
Então, $ g(t) = f(\alpha(t)) = f(\sin(2t), \cos(2t)) $.

Passo 3

Vamos escrever $ g(t) $ substituindo $ x $ e $ y $ por $ \sin(2t) $ e $ \cos(2t) $, respectivamente:
g(t)

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão. Sabemos que $ \sin^{2}(2t) + \cos^{2}(2t) = 1 $ (identidade trigonométrica) e que $ 2 \sin(2t) \cos(2t) = \sin(4t) $. Então:
sin^2(2t) + cos^2(2t) = 1

Passo 5

Para encontrar a derivada $ g’(t) $, vamos derivar cada termo separado:
g'(t)
ddt [1] = 0
Portanto:
ddt [sin(4t)] = 4 cos(4t)

Resposta

A derivada de $ g(t) $ é $ g^{\prime}(t) = -4 \cos(4t) $.

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