Calcule f'(x).
f(x) = raiz((x * tg(x)) / (sen(x) + 2 * pi)).

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função . Este exercício envolve conceitos de derivadas, incluindo a regra da cadeia e a regra do quociente. Para resolver, precisamos saber como derivar funções trigonométricas e aplicar essas regras corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação das regras de derivação. A raiz quadrada pode ser expressa como uma potência de :

Passo 3

Agora, aplicamos a regra da cadeia, que nos permite derivar funções compostas. Se temos , então:
No nosso caso, e .

Passo 4

Derivamos a função externa usando a regra da cadeia:

Passo 5

Agora, precisamos derivar o termo dentro da derivada, ou seja, . Para isso, usamos a regra do quociente, que diz:
onde e .

Passo 6

Calculamos as derivadas de e :

Passo 7

Aplicando a regra do quociente:

Passo 8

Simplificamos a expressão obtida:
Sabemos que , então substituímos:

Passo 9

Substituímos a derivada obtida na expressão de :

Passo 10

Finalmente, simplificamos a expressão para obter a derivada final:

Resposta

A derivada de é:

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