Determine se a sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
{3^(n+2) / 5^n}_{n=1}^{∞}

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a sequência {3^(n+2) / 5^n}_{n=1}^{∞} é convergente ou divergente. Se for convergente, também precisamos encontrar o seu limite. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e limites, além de propriedades das potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência. Observe que pode ser reescrito como . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento do termo quando n tende ao infinito. Sabemos que se a base de uma potência for um número entre 0 e 1, ao elevarmos esse número a um expoente que vai para o infinito, o resultado tende a 0. No nosso caso, 3/5 é menor que 1.

Passo 4

Aplicando essa propriedade, temos:

Resposta

A sequência é convergente e o seu limite é 0.

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