Determine, usando o conceito de derivada de função inversa, as seguintes derivadas:
\operatorname{arccos} \left(x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de \operatorname{arccos}\bigl(x^{2}\bigr). O conteúdo principal aqui é a derivada de função inversa (no caso, f^{-1}(x)=\operatorname{arccos} x) combinada com a regra da cadeia para composições de funções.

Passo 2

Primeiro lembramos a derivada de \operatorname{arccos} t, que vem da fórmula da derivada de função inversa: se y=\operatorname{arccos} t então \cos y=t e, diferenciando implicitamente,
-\sin y\,\frac{dy}{dt}=1
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\frac{d}{dt}\bigl(\operatorname{arccos} t\bigr)=\frac{dy}{dt}=-\frac{1}{\sin y}.
Como \sin y=\sqrt{1-\cos^{2}y}=\sqrt{1-t^{2}}, obtemos
\frac{d}{dt}\bigl(\operatorname{arccos} t\bigr)=-\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}.

Passo 3

Agora considere a composição g(x)=\operatorname{arccos}\bigl(x^{2}\bigr). Defina u(x)=x^{2}. Pela regra da cadeia,
g'(x) =\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{arccos} u\bigr)\Bigl|_{u=x^{2}}\times\frac{du}{dx} =-\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\Bigl|_{u=x^{2}}\times 2x.
Substituindo u=x^{2} em \sqrt{1-u^{2}} \sqrt{1-(x^{2})^{2}}=\sqrt{1-x^{4}}.

Resposta

\frac{d}{dx}\Bigl[\operatorname{arccos}\bigl(x^{2}\bigr)\Bigr] =-\frac{2x}{\sqrt{1-x^{4}}}.

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