Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função derivável e g(x)=f(\cos (x)). Calcule g^{\prime}\left(\frac{\pi}{3}\right) supondo que f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=4.

Passo 1

O enunciado diz que f é derivável em \mathbb{R} e define
g(x)=f\bigl(\cos(x)\bigr).
Queremos encontrar g'\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr).
Para isso vamos usar a regra da cadeia, que diz que, se g(x)=f(u(x)), então
g'(x)=f'\bigl(u(x)\bigr)\,\cdot u'(x).

Passo 2

Aqui temos u(x)=\cos(x). Portanto
u'(x)=\frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x)
e, aplicando a regra da cadeia,
g'(x) =f'\bigl(\cos(x)\bigr)\,\cdot\bigl(-\sin(x)\bigr) =-f'\bigl(\cos(x)\bigr)\,\sin(x).

Passo 3

Vamos avaliar em x=\tfrac{\pi}{3}. Sabemos que
\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac12, \quad \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\frac{\sqrt{3}}{2},
e que f'\bigl(\tfrac12\bigr)=4. Logo,
g'\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) =-f'\bigl(\tfrac12\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) =-4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} =-2\sqrt{3}.

Resposta

-2\sqrt{3}

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