Calcule a primeira e a segunda derivada de cada uma das séries de potências abaixo:
\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m}}{10^{m}}(x-5)^{m}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas de
S(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{10^{m}}(x-5)^{m}
que é uma série de potências centrada em x=5. Para obter a primeira e a segunda derivada, vamos aplicar a diferenciação termo a termo, usando que
\frac{d}{dx}(x-5)^{m}=m\,(x-5)^{m-1}.

Passo 2

Derivando termo a termo, a primeira derivada é
S'(x) =\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{10^{m}}\frac{d}{dx}(x-5)^{m} =\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{10^{m}}\,m\,(x-5)^{m-1}.

Passo 3

Para deixar o índice começando em zero, fazemos n=m-1. Então
S'(x) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n+1}}{10^{\,n+1}}(n+1)\,(x-5)^{n}.

Passo 4

Agora derivamos S'(x) termo a termo para achar S''(x):
S''(x) =\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{10^{m}}\,m\,\frac{d}{dx}(x-5)^{m-1} =\sum_{m=2}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{10^{m}}\,m\,(m-1)\,(x-5)^{m-2}.
Reindexando com k=m-2, obtemos
S''(x) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{\,k+2}}{10^{\,k+2}}(k+2)(k+1)\,(x-5)^{k}.

Resposta

A primeira derivada é
S'(x) =\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{10^{m}}\,m\,(x-5)^{m-1} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{10^{n+1}}(n+1)\,(x-5)^{n},
e a segunda derivada é
S''(x) =\sum_{m=2}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{10^{m}}\,m\,(m-1)\,(x-5)^{m-2} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k+2}}{10^{k+2}}(k+2)(k+1)\,(x-5)^{k}.

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