Calcule a primeira e a segunda derivada de cada uma das séries de potências abaixo:
\sum_{n=0}^{\infty} 2^{n} x^{n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}2^{n}x^{n},
que converge para \lvert x\rvert<\tfrac12. Vamos usar a propriedade de derivação termo a termo de séries de potências, que nos permite obter as derivadas dentro do mesmo raio de convergência.

Passo 2

Derivando termo a termo, cada monômio 2^{n}x^{n} gera
\frac{d}{dx}\bigl(2^{n}x^{n}\bigr)=n\,2^{n}x^{\,n-1}.
Portanto, a primeira derivada é
f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,2^{n}x^{\,n-1}.

Passo 3

Para a segunda derivada, aplicamos novamente a derivação termo a termo sobre f'(x). Cada termo n\,2^{n}x^{\,n-1} produz
\frac{d}{dx}\bigl(n\,2^{n}x^{\,n-1}\bigr)=n(n-1)\,2^{n}x^{\,n-2}.
Logo,
f''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,2^{n}x^{\,n-2}.

Resposta

f'(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n\,2^{n}x^{\,n-1} f''(x)=\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,2^{n}x^{\,n-2}

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