Verificar se a equação é homogênea, caso seja, resolver.
\left(x^{2}+2 x y\right) d x+x y d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\bigl(x^{2}+2xy\bigr)\,dx + x y\,dy = 0
e pede para verificar se ela é homogênea e, em caso afirmativo, resolvê-la. O conteúdo que vamos usar é o de equações diferenciais de primeira ordem homogêneas, que admitem a substituição
y = v x,\quad dy = v\,dx + x\,dv.

Passo 2

Para testar homogeneidade, note que
M(x,y)=x^{2}+2xy
é homogênea de grau 2 (pois cada termo tem soma de expoentes igual a 2) e
N(x,y)=xy
também é homogênea de grau 2. Como \deg M=\deg N, a equação é homogênea.

Passo 3

Fazemos a mudança y=vx, logo dy = v\,dx + x\,dv. Substituindo em
M\,dx + N\,dy=0
temos
\bigl(x^{2}+2x(vx)\bigr)\,dx + (v x^2)\bigl(v\,dx + x\,dv\bigr)=0.
Isto é
x^2(1+2v)\,dx + v x^2\,v\,dx + v x^3\,dv = 0 \;\Longrightarrow\; x^2\bigl(v^2+2v+1\bigr)\,dx + v x^3\,dv=0.

Passo 4

Como v^2+2v+1=(v+1)^2, dividimos tudo por x^2 (considerando x\neq0):
(v+1)^2\,dx + v x\,dv = 0 \;\Longrightarrow\; (v+1)^2\frac{dx}{x} + v\,dv = 0.
Reorganizando para separar variáveis:
\frac{dx}{x} = -\frac{v}{(v+1)^2}\,dv.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int\frac{dx}{x} = \ln\lvert x\rvert + C_1, \quad \int\frac{v}{(v+1)^2}\,dv = \int\Bigl(\frac{1}{v+1} - \frac{1}{(v+1)^2}\Bigr)\,dv = \ln\lvert v+1\rvert + \frac{1}{v+1} + C_2.
Como \ln\lvert x\rvert = -\bigl[\ln\lvert v+1\rvert + 1/(v+1)\bigr] + C, obtemos
\ln\bigl|x(v+1)\bigr| = -\frac{1}{v+1} + C.

Passo 6

Voltando à variável original, v+1=\frac{y}{x}+1=\frac{x+y}{x}, então
x(v+1)=x+y, \quad \frac{1}{v+1}=\frac{x}{x+y}.
Logo a solução implícita fica
\ln\lvert x+y\rvert = -\frac{x}{x+y} + C \;\Longleftrightarrow\; \ln\lvert x+y\rvert + \frac{x}{x+y} = C.

Resposta

\boxed{\ln\lvert x+y\rvert + \frac{x}{x+y} = C,}
que é a solução geral da equação homogênea dada.

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