Verificar se a equação é homogênea, caso seja, resolver. \left(x^{2}+2 x y\right) d x+x y d y=0
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
\bigl(x^{2}+2xy\bigr)\,dx + x y\,dy = 0
e pede para verificar se ela é homogênea e, em caso afirmativo, resolvê-la. O conteúdo que vamos usar é o de equações diferenciais de primeira ordem homogêneas, que admitem a substituição
y = v x,\quad dy = v\,dx + x\,dv.
Passo 2
Para testar homogeneidade, note que
M(x,y)=x^{2}+2xy
é homogênea de grau 2 (pois cada termo tem soma de expoentes igual a 2) e
N(x,y)=xy
também é homogênea de grau 2. Como \deg M=\deg N, a equação é homogênea.
Passo 3
Fazemos a mudança y=vx, logo dy = v\,dx + x\,dv. Substituindo em
M\,dx + N\,dy=0
temos
\bigl(x^{2}+2x(vx)\bigr)\,dx + (v x^2)\bigl(v\,dx + x\,dv\bigr)=0.
Isto é
x^2(1+2v)\,dx + v x^2\,v\,dx + v x^3\,dv = 0 \;\Longrightarrow\; x^2\bigl(v^2+2v+1\bigr)\,dx + v x^3\,dv=0.
Passo 4
Como v^2+2v+1=(v+1)^2, dividimos tudo por x^2 (considerando x\neq0):