Calcule a primeira e a segunda derivada de cada uma das séries de potências abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a série de potências
e pede
e
. O conteúdo é a derivação termo a termo de séries de potências, que é válida dentro do raio de convergência.
Passo 2
Derivando termo a termo, para
cada termo fica
Logo,
Passo 3
Para escrever com índice começando em zero, seja
. Então
e
Portanto
Passo 4
Agora derivamos novamente termo a termo em
. Para
(usando a forma sem reindexar) temos
Logo
Passo 5
Reindexando agora com
, isto é,
, obtemos
pois
. Assim
Resposta
ou equivalently
ou equivalently