Calcule a primeira e a segunda derivada de cada uma das séries de potências abaixo:
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n^{2}(x+2)^{n}}{3^{n}}

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n^{2}}{3^{n}}(x+2)^{n}
e pede f'(x) e f''(x). O conteúdo é a derivação termo a termo de séries de potências, que é válida dentro do raio de convergência.

Passo 2

Derivando termo a termo, para n\ge1 cada termo fica
\frac{d}{dx}\Bigl[(-1)^{n}\frac{n^{2}}{3^{n}}(x+2)^{n}\Bigr] =(-1)^{n}\frac{n^{2}}{3^{n}}\;n\,(x+2)^{n-1} =\;(-1)^{n}\frac{n^{3}}{3^{n}}(x+2)^{n-1}.
Logo,
f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n^{3}}{3^{n}}(x+2)^{n-1}.

Passo 3

Para escrever com índice começando em zero, seja k=n-1. Então n=k+1 e
(-1)^{n}\frac{n^{3}}{3^{n}}(x+2)^{n-1} =(-1)^{k+1}\frac{(k+1)^{3}}{3^{\,k+1}}(x+2)^{k}.
Portanto
f'(x) =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{(k+1)^{3}}{3^{\,k+1}}(x+2)^{k}.

Passo 4

Agora derivamos novamente termo a termo em f'(x). Para n\ge2 (usando a forma sem reindexar) temos
\frac{d}{dx}\Bigl[(-1)^{n}\frac{n^{3}}{3^{n}}(x+2)^{n-1}\Bigr] =(-1)^{n}\frac{n^{3}}{3^{n}}\,(n-1)\,(x+2)^{n-2} =\;(-1)^{n}\frac{n^{3}(n-1)}{3^{n}}(x+2)^{n-2}.
Logo
f''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n^{3}(n-1)}{3^{n}}(x+2)^{n-2}.

Passo 5

Reindexando agora com k=n-2, isto é, n=k+2, obtemos
(-1)^{n}\frac{n^{3}(n-1)}{3^{n}}(x+2)^{n-2} =(-1)^{k}\frac{(k+2)^{3}(k+1)}{3^{\,k+2}}(x+2)^{k},
pois (-1)^{k+2}=(-1)^{k}. Assim
f''(x) =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{(k+2)^{3}(k+1)}{3^{\,k+2}}(x+2)^{k}.

Resposta

f'(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n^{3}}{3^{n}}(x+2)^{n-1}
ou equivalently \displaystyle f'(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{(k+1)^{3}}{3^{\,k+1}}(x+2)^{k}. f''(x)=\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n^{3}(n-1)}{3^{n}}(x+2)^{n-2}
ou equivalently \displaystyle f''(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{(k+2)^{3}(k+1)}{3^{\,k+2}}(x+2)^{k}.

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