Calcule a série de Taylor para cada uma das funções abaixo e determine seu intervalo de convergência:
em torno do ponto
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor de
centrada em
. O conteúdo que vamos usar é a expansão em série de potências do tipo “série geométrica” para a função
, lembrando que aqui o desvio em relação ao ponto de expansão será
.
Passo 2
Fazendo a mudança de variável
, temos
Agora reconhecemos a típica forma da soma geométrica invertida.
Passo 3
Sabemos que, para
, vale
Essa é a série de potências básica que vamos aproveitar.
Passo 4
Voltando para a variável
, basta substituir
. Logo
Essa é a série de Taylor de
em torno de
.
Passo 5
Para achar o intervalo de convergência, usamos o critério da razão na forma de série geométrica: a condição é
, ou seja
Nos extremos
e
os termos não tendem a zero, logo a série diverge nesses pontos.
Resposta
A série de Taylor é