Calcule a série de Taylor para cada uma das funções abaixo e determine seu intervalo de convergência:
\frac{1}{x} em torno do ponto x=1

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=\frac{1}{x} centrada em x=1. O conteúdo que vamos usar é a expansão em série de potências do tipo “série geométrica” para a função \frac{1}{1+u}, lembrando que aqui o desvio em relação ao ponto de expansão será u=x-1.

Passo 2

Fazendo a mudança de variável u=x-1, temos
f(x)=\frac{1}{x}=\frac{1}{1+u}\,.
Agora reconhecemos a típica forma da soma geométrica invertida.

Passo 3

Sabemos que, para \lvert u\rvert<1, vale
\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{n}\,.
Essa é a série de potências básica que vamos aproveitar.

Passo 4

Voltando para a variável x, basta substituir u=x-1. Logo
\frac{1}{x} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(x-1)^{n}\,.
Essa é a série de Taylor de f(x) em torno de x=1.

Passo 5

Para achar o intervalo de convergência, usamos o critério da razão na forma de série geométrica: a condição é \lvert u\rvert<1, ou seja
\lvert x-1\rvert<1\quad\Longrightarrow\quad 0<x<2\,.
Nos extremos x=0 e x=2 os termos não tendem a zero, logo a série diverge nesses pontos.

Resposta

A série de Taylor é
\frac{1}{x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(x-1)^{n} \quad\text{com intervalo de convergência}\quad 0<x<2\,.ê

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