Calcule a primeira e a segunda derivada de cada uma das séries de potências abaixo:
\sum_{j=0}^{\infty} \frac{j}{(j+2)^{2}}(x-4)^{j}

Passo 1

O enunciado dá a série de potências centrada em x=4:
f(x)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{j}{(j+2)^{2}}\,(x-4)^{j}.
Queremos f'(x) e f''(x). Vamos usar a regra de diferenciação termo a termo de séries de potências, que diz que
\frac{d}{dx}\bigl[(x-4)^{j}\bigr]=j\,(x-4)^{j-1}.

Passo 2

Diferenciando termo a termo em relação a x, obtemos
f'(x) =\sum_{j=0}^{\infty}\frac{j}{(j+2)^{2}}\;\frac{d}{dx}\bigl[(x-4)^{j}\bigr] =\sum_{j=0}^{\infty}\frac{j}{(j+2)^{2}}\;j\,(x-4)^{j-1} =\sum_{j=1}^{\infty}\frac{j^{2}}{(j+2)^{2}}\,(x-4)^{j-1}.

Passo 3

Para reescrever como série em potências de (x-4)^{k}, faça k=j-1. Então j=k+1 e a soma fica
f'(x) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(k+1)^{2}}{(k+3)^{2}}\,(x-4)^{k}.

Passo 4

Agora diferenciamos f'(x) termo a termo. Partindo da forma em índice j:
f''(x) =\sum_{j=1}^{\infty}\frac{j^{2}}{(j+2)^{2}}\;\frac{d}{dx}\bigl[(x-4)^{j-1}\bigr] =\sum_{j=1}^{\infty}\frac{j^{2}}{(j+2)^{2}}\;(j-1)\,(x-4)^{j-2} =\sum_{j=2}^{\infty}\frac{j^{2}(j-1)}{(j+2)^{2}}\,(x-4)^{j-2}.

Passo 5

Reindexando agora com k=j-2 (logo j=k+2), fica
f''(x) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(k+2)^{2}\,(k+1)}{(k+4)^{2}}\,(x-4)^{k}.

Resposta

f'(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(k+1)^{2}}{(k+3)^{2}}\,(x-4)^{k}, \qquad f''(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(k+2)^{2}(k+1)}{(k+4)^{2}}\,(x-4)^{k}.

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