Calcule
dd t[r1(t) cdot r2(t)] e dd t[r1(t) times r2(t)]
primeiro diferenciando o produto diretamente e, então, aplicando as fórmulas
dd t[r1(t) cdot r2(t)]=r1(t) cdot d r2d t+d r1d t cdot r2(t)
e
dd t[r1(t) times r2(t)]=r1(t) times d r2d t+d r1d t times r2(t)
  1. r1(t)=cos t 1+sen t j+t k, r2(t)=1+t k

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas em relação a t de r1(t)cdot r2(t) e de r1(t)times r2(t), primeiro fazendo a derivada direta do produto e depois verificando pelo uso das fórmulas de produto, a saber
ddt[ r1cdot r2] = r1cdotd r2dt +d r1dtcdot r2 e ddt[ r1times r2] = r1timesd r2dt +d r1dttimes r2
Vamos usar cálculo vetorial básico: produto escalar, produto vetorial, derivada componente a componente.

Passo 2

Calculemos primeiro o produto escalar e em seguida sua derivada direta. Temos
r1(t)cdot r2(t) =(cos t)cdot1+(sin t)cdot0+(t)cdot t =cos t+t^2
Diferenciando em relação a t,
ddt[cos t+t^2] =-sin t+2t

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de produto escalar. Primeiro obtemos as derivadas:
d r1dt =(-sin t), i+(cos t), j+1, k, d r2dt =0, i+0, j+1, k
Então
r1cdotd r2dt =(cos t)cdot0+(sin t)cdot0+(t)cdot1 =t,
d r1dtcdot r2 =(-sin t)cdot1+(cos t)cdot0+1cdot t =-sin t+t
Somando
t+(-sin t+t) =-sin t+2t,
que coincide com a derivada direta.

Passo 4

Agora o produto vetorial. Primeiro calculamos
r1(t)times r2(t) = i& j& k cos t&sin t&t 1&0&t =l(tsin tr), i -l(tcos t -tr), j -sin t, k,
ou seja
r1times r2 =tsin t, i +t(1-cos t), j -sin t, k
Diferenciando componente a componente,
ddt[ r1times r2] =(sin t+tcos t), i +[(1-cos t)+tsin t], j +(-cos t), k

Passo 5

Aplicamos a fórmula de produto vetorial:
r1timesd r2dt = r1times k =sin t, i-cos t, j+0, k,
d r1dttimes r2 =l(-sin t,cos t,1r)times(1,0,t) =tcos t, i+(tsin t+1), j-cos t, k
Somando ambos dá
(sin t +tcos t), i +(-cos t +tsin t+1), j +(-cos t), k,
que coincide com a derivada direta do passo anterior.

Resposta

ddtl[ r1cdot r2r] =-sin t+2t, ddtl[ r1times r2r] =(sin t+tcos t), i +[(1-cos t)+tsin t], j +(-cos t), k

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