Para que valores de k a função f(x)=(5k-1)^x é decrescente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir para quais valores de k a função f(x) = (5k - 1)^x é decrescente. A matéria envolvida aqui é funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como o comportamento da função depende da base (5k - 1) .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função exponencial da forma f(x) = a^x é decrescente quando a base a está entre 0 e 1, ou seja, 0 < a < 1 . Isso significa que, conforme x aumenta, f(x) diminui.

Passo 3

No nosso caso, a base da função é 5k - 1 . Então, para que f(x) = (5k - 1)^x seja decrescente, precisamos que:
0 < 5k - 1 < 1

Passo 4

Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de k .
Primeiro, resolvemos a parte esquerda:
0 < 5k - 1
Adicionando 1 em ambos os lados:
1 < 5k
Dividindo por 5:
15 < k

Passo 5

Em seguida, resolvemos a parte direita da desigualdade:
5k - 1 < 1
Adicionando 1 em ambos os lados:
5k < 2
Dividindo por 5:
k < 25

Passo 6

Juntando as duas partes, temos:
15 < k < 25
Ou seja, k deve ser maior que 15 e menor que 25 .

Resposta

Os valores de k que fazem a função f(x) = (5k - 1)^x ser decrescente são todos os números tais que:
15 < k < 25

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