Exercício 2 Mostre que as seguintes séries são divergentes
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\sqrt{9 n^{2}+5}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\sqrt{9 n^{2}+5}}
é divergente.
Informações dadas: a expressão geral do termo da série é a_{n}=\dfrac{n}{\sqrt{9 n^{2}+5}} para n=1,2,3,\dots. Não há outras hipóteses (por exemplo, sobre alternância de sinais) além dessa fórmula.

Passo 2

Vamos lembrar um fato fundamental (teste da condição necessária para convergência): se uma série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge, então a sequência dos termos (a_{n}) tem que tender a zero, isto é,
\text{se }\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\text{ converge, então }\lim_{n\to\infty} a_{n}=0.ã
Explicando por que isso é verdadeiro (rápido): suponha que \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=S exista finitamente. Seja S_{N}=\sum_{n=1}^{N} a_{n}. Então a_{N}=S_{N}-S_{N-1}. Como S_{N}\to S e S_{N-1}\to S, a diferença a_{N}\to 0. Logo, se encontrarmos \lim_{n\to\infty} a_{n}\neq 0, isso já garante que a série não pode convergir (diverge). Esse é o teste que vamos aplicar — ele é o jeito mais direto e rápido para muitos exercícios: calcular o limite do termo geral.

Passo 3

Calculemos o limite do termo geral a_{n}=\dfrac{n}{\sqrt{9 n^{2}+5}}. Primeiro fazemos uma manipulação algébrica para ver o comportamento quando n\to\infty. Como n>0 para n natural, podemos dividir numerador e denominador por n. Escrevemos:
a_{n}=\frac{n}{\sqrt{9 n^{2}+5}} =\frac{n}{\sqrt{n^{2}\left(9+\dfrac{5}{n^{2}}\right)}}
Aqui eu usei a propriedade \sqrt{n^{2}X}=|n|\sqrt{X}; como n>0 temos |n|=n. Continuando,
a_{n}=\frac{n}{n\sqrt{9+\dfrac{5}{n^{2}}}} =\frac{1}{\sqrt{9+\dfrac{5}{n^{2}}}}.
Agora tomamos limite quando n\to\infty. Observando que \dfrac{5}{n^{2}}\to 0 quando n\to\infty, e usando a continuidade da função x\mapsto\sqrt{x}, obtemos
\lim_{n\to\infty} a_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{9+\dfrac{5}{n^{2}}}} =\frac{1}{\sqrt{9+0}} =\frac{1}{3}.
Portanto \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_{n}=\dfrac{1}{3}.

Passo 4

Como o limite do termo geral não é zero (tem valor \dfrac{1}{3}\neq 0), pela observação do Passo 2 a série não pode convergir. Intuitivamente: os termos da soma não vão diminuindo para zero — eles se aproximam de uma constante positiva \tfrac{1}{3} — então somá-los infinitamente dá algo que explode (é impossível ter uma soma finita). Logo a série diverge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\sqrt{9 n^{2}+5}} diverge.

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