Exercício 2 Mostre que as seguintes séries são divergentes
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
é divergente.
Informações dadas: a expressão geral do termo da série é para
. Não há outras hipóteses (por exemplo, sobre alternância de sinais) além dessa fórmula.
Informações dadas: a expressão geral do termo da série é
Passo 2
Vamos lembrar um fato fundamental (teste da condição necessária para convergência): se uma série
converge, então a sequência dos termos
tem que tender a zero, isto é,
Explicando por que isso é verdadeiro (rápido): suponha que
exista finitamente. Seja
. Então
. Como
e
, a diferença
. Logo, se encontrarmos
, isso já garante que a série não pode convergir (diverge). Esse é o teste que vamos aplicar — ele é o jeito mais direto e rápido para muitos exercícios: calcular o limite do termo geral.
Passo 3
Calculemos o limite do termo geral
. Primeiro fazemos uma manipulação algébrica para ver o comportamento quando
. Como
para
natural, podemos dividir numerador e denominador por
. Escrevemos:
Aqui eu usei a propriedade
; como
temos
. Continuando,
Agora tomamos limite quando
. Observando que
quando
, e usando a continuidade da função
, obtemos
Portanto
.
Passo 4
Como o limite do termo geral não é zero (tem valor
), pela observação do Passo 2 a série não pode convergir. Intuitivamente: os termos da soma não vão diminuindo para zero — eles se aproximam de uma constante positiva
— então somá-los infinitamente dá algo que explode (é impossível ter uma soma finita). Logo a série diverge.
Resposta
A série
diverge.