Calcule a primitiva de f(x)=\frac{1}{16 x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada (primitiva) de
f(x)=\frac{1}{16x^{2}-1}.
O conteúdo principal é integração por frações parciais, pois o denominador é um polinômio de segundo grau que pode ser fatorado em termos lineares.

Passo 2

Fatoramos o denominador e escrevemos a decomposição em frações parciais:
16x^{2}-1 = (4x-1)(4x+1),
e supomos
\frac{1}{16x^{2}-1} =\frac{A}{4x-1}+\frac{B}{4x+1}.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (4x-1)(4x+1)\) para achar \(A\) e \(B\): \[1 = A(4x+1) + B(4x-1).
Comparando coeficientes de x e termo constante, obtemos o sistema
\begin{cases} 4(A+B) = 0,\\\ A - B = 1. \end{cases}
Da primeira equação vem A+B=0\], ou seja \(B=-A. Substituindo na segunda dá 2A=1, logo
A = \tfrac{1}{2}, \quad B = -\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Assim
f(x) =\frac{1/2}{4x-1} - \frac{1/2}{4x+1}
e a primitiva é
\int f(x)\,\mathrm{d}x =\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm{d}x}{4x-1} -\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm{d}x}{4x+1}.
Como \displaystyle \int\frac{\mathrm{d}x}{4x\pm1}=\frac{1}{4}\ln\bigl|4x\pm1\bigr|, segue
\int f(x)\,\mathrm{d}x =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\ln\bigl|4x-1\bigr| -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\ln\bigl|4x+1\bigr| + C.

Passo 5

Podemos combinar os logaritmos:
\frac{1}{8}\ln\bigl|4x-1\bigr| - \frac{1}{8}\ln\bigl|4x+1\bigr| = \frac{1}{8}\ln\!\Bigl|\frac{4x-1}{4x+1}\Bigr|.

Resposta

\int \frac{1}{16x^{2}-1}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{8}\ln\!\Bigl|\frac{4x-1}{4x+1}\Bigr| + C.

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