\int \operatorname{sec} \left(\frac{6}{5} x\right) d x

Passo 1

A gente precisa calcular \displaystyle \int \operatorname{sec}\!\bigl(\tfrac{6}{5}x\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é a integral de \operatorname{sec}(ax), que a gente resolve via substituição para isolar o argumento.

Passo 2

Fazendo a troca
u = \frac{6}{5}x,
temos \displaystyle \frac{du}{dx}=\frac{6}{5}
e portanto \displaystyle dx=\frac{5}{6}\,du.
A integral fica
\int \operatorname{sec}\!\bigl(\tfrac{6}{5}x\bigr)\,dx =\frac{5}{6}\int \operatorname{sec}(u)\,du.

Passo 3

Lembra que está valendo o resultado padrão
\int \operatorname{sec}(u)\,du =\ln\bigl|\operatorname{sec}(u)+\tan(u)\bigr|+C.
Esse fato pode ser obtido multiplicando a integranda por \tfrac{\operatorname{sec}(u)+\tan(u)}{\operatorname{sec}(u)+\tan(u)} e reconhecendo a derivada de \operatorname{sec}(u)+\tan(u), mas vamos usar direto a fórmula.

Passo 4

Voltando a x, a integral completa é
\frac{5}{6}\,\ln\bigl|\operatorname{sec}(u)+\tan(u)\bigr|+C =\frac{5}{6}\,\ln\bigl|\operatorname{sec}\!\bigl(\tfrac{6}{5}x\bigr)+\tan\!\bigl(\tfrac{6}{5}x\bigr)\bigr|+C.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{6}\ln\bigl|\operatorname{sec}\bigl(\tfrac{6}{5}x\bigr)+\tan\bigl(\tfrac{6}{5}x\bigr)\bigr|+C

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