\int \frac{x^{3} d x}{\cos \left(x^{4}\right)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{3}}{\cos\bigl(x^{4}\bigr)}\,dx.
O conteúdo aqui é integração por substituição: vamos reconhecer uma derivada interna que simplifica a integral.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{4}.
Diferenciando ambos os lados,
du = 4\,x^{3}\,dx,
ou seja
x^{3}\,dx = \frac{du}{4}.

Passo 3

Substituindo na integral original obtemos
\int \frac{x^{3}}{\cos\bigl(x^{4}\bigr)}\,dx = \int \frac{1}{\cos(u)}\;\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\,\int \operatorname{sec}(u)\,du.

Passo 4

Sabemos que a primitiva de \operatorname{sec}(u) é
\int \operatorname{sec}(u)\,du = \ln\bigl|\operatorname{sec}(u)+\tan(u)\bigr| + C.
Logo
\frac{1}{4}\,\int \operatorname{sec}(u)\,du = \frac{1}{4}\,\ln\bigl|\operatorname{sec}(u)+\tan(u)\bigr| + C.

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original usando u=x^{4}. Assim a resposta é

Resposta

\frac{1}{4}\,\ln\Bigl|\operatorname{sec}\bigl(x^{4}\bigr)+\tan\bigl(x^{4}\bigr)\Bigr| + C.

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