I_{d}=\int \frac{(3 x+1)}{1-6 x-9 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I_{d} = \int \frac{3x+1}{1 - 6x - 9x^{2}} \, dx.
Este é um caso de integral de função racional em que o numerador é quase proporcional à derivada do denominador, sugerindo a substituição simples u = denominador.

Passo 2

Definimos
u = 1 - 6x - 9x^{2}.
Então calculamos sua diferencial:
du = \bigl(-6 - 18x\bigr)\,dx = -6\,(1 + 3x)\,dx.

Passo 3

Observamos que o numerador 3x+1 é exatamente 1+3x. Portanto
(1+3x)\,dx = -\tfrac{1}{6}\,du.
Assim podemos reescrever a integral em termos de u:

Passo 4

Substituindo na integral,
I_{d} = \int \frac{3x+1}{1 - 6x - 9x^{2}}\,dx = \int \frac{1+3x}{u}\,dx = \int \frac{-\tfrac{1}{6}\,du}{u} = -\tfrac{1}{6}\,\int \frac{du}{u}.

Passo 5

Integramos:
-\tfrac{1}{6}\,\int \frac{du}{u} = -\tfrac{1}{6}\,\ln\bigl|u\bigr| + C.
Voltando a u = 1 - 6x - 9x^{2}, temos a forma final.

Resposta

I_{d} = -\tfrac{1}{6}\,\ln\bigl|1 - 6x - 9x^{2}\bigr| + C.

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