I_{e}=\int \frac{a^{\frac{2}{x}}}{x^{2}} d x, a>0

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I_{e}=\int \frac{a^{\frac{2}{x}}}{x^{2}}\,dx,
com a>0. O conteúdo é integração de uma exponencial em que a variável aparece no expoente, e vamos usar substituição para resolver.

Passo 2

Reescrevemos a base a em termos de exponencial natural:
a^{\frac{2}{x}} = e^{\bigl(\frac{2}{x}\bigr)\ln a}.
Assim a integral fica mais fácil de manipular.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \frac{2}{x}.
Diferenciando em relação a x,
du = -\frac{2}{x^{2}}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{x^{2}} = -\frac{du}{2}.

Passo 4

Substituindo na integral,
I_{e} = \int e^{u\ln a}\,\frac{dx}{x^{2}} = \int e^{u\ln a}\Bigl(-\tfrac{du}{2}\Bigr) = -\tfrac{1}{2}\int e^{u\ln a}\,du = -\tfrac{1}{2}\int a^{u}\,du.

Passo 5

Sabendo que
\int a^{u}\,du = \frac{a^{u}}{\ln a},
temos
I_{e} = -\tfrac{1}{2}\,\frac{a^{u}}{\ln a} + C = -\frac{a^{u}}{2\ln a} + C.

Passo 6

Voltando à variável original x (onde u=2/x), obtemos
I_{e} = -\frac{a^{\frac{2}{x}}}{2\ln a} + C.

Resposta

I_{e} = -\frac{a^{\frac{2}{x}}}{2\ln a} + C.

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