Usando o método da variaça de parâmetro, resolva a edo linear não-homogênea com coeficientes constantes.
y^prime prime+y=4 x sen x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’’ + y = 4x \sin x $ usando o método da variação de parâmetros. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea correspondente: $ y’’ + y = 0 $. A equação característica é $ r^2 + 1 = 0 $, que tem raízes complexas: $ r = \pm i $. Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
y'' + y = 0
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação não homogênea $ y’’ + y = 4x \sin x $ usando o método da variação de parâmetros. Para isso, precisamos calcular as derivadas das soluções homogêneas e montar o sistema para encontrar $ y_p $.

Passo 4

Vamos considerar:
y1(x) = cos x e y2(x) = sin x
Calculamos as derivadas:
y1'(x) = -sin x e y2'(x) = cos x

Passo 5

Montamos o sistema para encontrar as funções $ u_1 $ e $ u_2 $:
u1
Isso vem da forma $ y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2 $.

Passo 6

Resolvemos o sistema. Da primeira equação:
u1' cos x + u2' sin x = 0 Rightarrow u1' = -u2' tan x
Substituímos na segunda equação:
-(-u2' tan x) sin x + u2' cos x = 4x sin x u2' sin x tan x + u2' cos x = 4x sin x u2' ( sin^2 xcos x + cos x ) = 4x sin x u2' ( sin^2 x + cos^2 xcos x ) = 4x sin x u2' ( 1cos x ) = 4x sin x u2' = 4x sin x cos x

Passo 7

Agora, integramos $ u_2’ $ para encontrar $ u_2 $:
u2'
Simplificamos usando a identidade $ 2 \sin x \cos x = \sin 2x $:
u2
Integrando por partes, onde $ u = 2x $ e $ dv = \sin 2x , dx $:
u2 = integral 4x sin x cos x , dx
Então:
2 sin x cos x = sin 2x
Desconsideramos a constante de integração $ C $ pois estamos buscando uma solução particular.

Passo 8

Agora, encontramos $ u_1 $ usando $ u_1’ = -u_2’ \tan x $:
u1
Integrando:
u1' = -u2' tan x
Usando a identidade $ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} $:
u1' = -4x sin x cos x tan x = -4x sin^2 x

Passo 9

Finalmente, a solução particular é:
yp = u1 cos x + u2 sin x = ( -x^2 + x sin 2x - 12 cos 2x ) cos x + ( -x cos 2x + 12 sin 2x ) sin x
Simplificando:
yp = -x^2 cos x + x sin 2x cos x - 12 cos 2x cos x - x cos 2x sin x + 12 sin 2x sin x

Passo 10

Juntando tudo, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(x) = C1 cos x + C2 sin x - x^2 cos x + x sin 2x cos x - 12 cos 2x cos x - x cos 2x sin x + 12 sin 2x sin x

Resposta

A solução geral da equação diferencial $ y’’ + y = 4x \sin x $ é:
y'' + y = 4x sin x
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados