Usando o método da variaça de parâmetro, resolva a edo linear não-homogênea com coeficientes constantes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’’ + y = 4x \sin x $ usando o método da variação de parâmetros. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea correspondente: $ y’’ + y = 0 $. A equação característica é $ r^2 + 1 = 0 $, que tem raízes complexas: $ r = \pm i $. Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação não homogênea $ y’’ + y = 4x \sin x $ usando o método da variação de parâmetros. Para isso, precisamos calcular as derivadas das soluções homogêneas e montar o sistema para encontrar $ y_p $.
Passo 4
Vamos considerar:
Calculamos as derivadas:
Passo 5
Montamos o sistema para encontrar as funções $ u_1 $ e $ u_2 $:
Isso vem da forma $ y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2 $.
Passo 6
Resolvemos o sistema. Da primeira equação:
Substituímos na segunda equação:
Passo 7
Agora, integramos $ u_2’ $ para encontrar $ u_2 $:
Simplificamos usando a identidade $ 2 \sin x \cos x = \sin 2x $:
Integrando por partes, onde $ u = 2x $ e $ dv = \sin 2x , dx $:
Então:
Desconsideramos a constante de integração $ C $ pois estamos buscando uma solução particular.
Passo 8
Agora, encontramos $ u_1 $ usando $ u_1’ = -u_2’ \tan x $:
Integrando:
Usando a identidade $ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} $:
Passo 9
Finalmente, a solução particular é:
Simplificando:
Passo 10
Juntando tudo, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial $ y’’ + y = 4x \sin x $ é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.