Calcule as primitivas abaixo
integral 3 x^2 e^-x / 2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva de integral 3 x^2 e^-x/2 ,dx. O conteúdo aqui é antiderivada de um produto de polinômio por exponencial e vamos usar integração por partes, que diz que integral u,dv = u,v - integral v,du.

Passo 2

Extraímos o fator constante 3: integral 3 x^2 e^-x/2 ,dx = 3 integral x^2 e^-x/2 ,dx A partir de agora, vamos focar em I = integral x^2 e^-x/2 ,dx.

Passo 3

Para calcular I, aplicamos integração por partes uma vez. Escolhemos u = x^2 e dv = e^-x/2 ,dx, logo du = 2x ,dx e v = integral e^-x/2 ,dx = -2 e^-x/2. Assim, temos:
I = u,v - integral v,du = -2 x^2 e^-x/2 - integral(-2 e^-x/2 cdot 2x ,dx) = -2 x^2 e^-x/2 + 4 integral x e^-x/2 ,dx

Passo 4

Definimos agora J = integral x e^-x/2 ,dx e aplicamos integração por partes de novo: escolhemos u = x e dv = e^-x/2 ,dx, então du = dx e v = -2 e^-x/2. Logo,
J = u,v - integral v,du = -2 x e^-x/2 - integral(-2 e^-x/2 ,dx) = -2 x e^-x/2 + 2 integral e^-x/2 ,dx
E integral e^-x/2 ,dx = -2 e^-x/2, portanto
J = -2 x e^-x/2 - 4 e^-x/2

Passo 5

Substituímos J de volta em I = -2 x^2 e^-x/2 + 4J, obtendo:
I = -2 x^2 e^-x/2 + 4l(-2 x e^-x/2 - 4 e^-x/2r) = -2 x^2 e^-x/2 - 8 x e^-x/2 - 16 e^-x/2

Passo 6

Voltando ao integral original, multiplicamos por 3 e adicionamos a constante de integração C:
integral 3 x^2 e^-x/2 ,dx = 3I + C = -6 x^2 e^-x/2 - 24 x e^-x/2 - 48 e^-x/2 + C

Resposta

-6 e{-x/2}\bigl(x{2} + 4x + 8\bigr) + C

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