Calcule as primitivas indicadas:
Considerando o método da substituição e integraçăo por partes, analise qual é o método adequado para cada uma das integrais e determine a primitiva em cada caso:
\int t \cdot e^{2 t} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva de
\int t\,e^{2t}\,dt.
Aqui a técnica adequada é a integração por partes, pois se trata de um produto entre t e e^{2t} que não se resolve direto por substituição simples.

Passo 2

Na integração por partes usamos a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Para isso escolhemos
u = t \quad\text{e}\quad dv = e^{2t}\,dt.
Então
du = dt \quad\text{e}\quad v = \int e^{2t}\,dt = \frac{1}{2}e^{2t}.

Passo 3

Substituindo na fórmula de partes, obtemos
\int t\,e^{2t}\,dt = t\cdot\frac{1}{2}e^{2t} - \int \frac{1}{2}e^{2t}\,dt.

Passo 4

Calculamos a integral remanescente e simplificamos:
\int \frac{1}{2}e^{2t}\,dt = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}e^{2t} = \frac{1}{4}e^{2t}.
Portanto
\int t\,e^{2t}\,dt = \frac{t}{2}e^{2t} - \frac{1}{4}e^{2t} + C = \frac{e^{2t}}{4}\,(2t - 1) + C.

Resposta

\int t\,e^{2t}\,dt = \frac{e^{2t}}{4}\,(2t - 1) + C.

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