Calcule as primitivas indicadas:
Considerando o método da substituição e integraçăo por partes, analise qual é o método adequado para cada uma das integrais e determine a primitiva em cada caso:
\int y e^{-y} d y

Passo 1

O enunciado pede a primitiva de
\int y\,e^{-y}\,dy
O conteúdo mais adequado aqui é a integração por partes, pois temos o produto de uma função polinomial y e uma exponencial e^{-y}.

Passo 2

Na integração por partes escolhemos
u = y,\quad dv = e^{-y}\,dy.
Calculamos
du = dy,
e
v = \int e^{-y}\,dy = -e^{-y}.

Passo 3

Aplicando a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
temos
\int y\,e^{-y}\,dy = y\cdot(-e^{-y}) - \int(-e^{-y})\,dy = -y\,e^{-y} + \int e^{-y}\,dy = -y\,e^{-y} - e^{-y} + C.
Em seguida, agrupando fatores:
-e^{-y}(y + 1) + C.

Resposta

-e^{-y}(y + 1) + C

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