Calcule as primitivas indicadas:
Considerando o método da substituição e integraçăo por partes, analise qual é o método adequado para cada uma das integrais e determine a primitiva em cada caso:
\int x^{3}\left(x^{4}-4\right)^{3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva da integral
\int x^{3}\bigl(x^{4}-4\bigr)^{3}\,dx
O método adequado aqui é a substituição, pois vemos uma composição (x^{4}-4)^{3} e sua derivada está presente em x^{3}\,dx.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{4}-4
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du = 4x^{3}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{3}\,dx = \frac{du}{4}.
Com isso a integral fica
\int x^{3}\bigl(x^{4}-4\bigr)^{3}\,dx =\int u^{3}\,\frac{du}{4} =\frac{1}{4}\int u^{3}\,du.

Passo 3

Agora integramos em u:
\frac{1}{4}\int u^{3}\,du =\frac{1}{4}\cdot\frac{u^{4}}{4} =\frac{u^{4}}{16}+C.
Voltando à variável x, temos
\frac{u^{4}}{16}+C =\frac{\bigl(x^{4}-4\bigr)^{4}}{16}+C.

Resposta

\int x^{3}\bigl(x^{4}-4\bigr)^{3}\,dx =\frac{\bigl(x^{4}-4\bigr)^{4}}{16}+C.

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