Calcule as primitivas:
\int\left(3 \sqrt{x+\frac{1}{x}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as primitivas de \int\left(3 \sqrt{x+\frac{1}{x}}\right)\,dx.\n
Informações relevantes que temos imediatamente:
  • A função integranda é f(x)=3\sqrt{x+\dfrac{1}{x}}.
  • Para que a raiz quadrada seja real, precisamos de x+\dfrac{1}{x}\ge0. Em particular, a substituição que vamos usar torna mais claro trabalhar com x>0 (vou usar x>0 para simplificar a discussão; o argumento análogo vale em intervalos onde a expressão dentro da raiz seja não-negativa).
  • O que se pede é uma primitiva (função F(x) tal que F'(x)=3\sqrt{x+\dfrac{1}{x}}). Nada foi pedido sobre uma forma específica (elementar) da primitiva, então é aceitável apresentar a primitiva em forma integral ou em termos de funções especiais se necessário.

Passo 2

Primeiro passo prático: tentar uma substituição que simplifique a presença de \sqrt{x} no denominador quando reescrevemos a expressão. Reescrevo a radicanda:
x+\frac{1}{x}=\frac{x^2+1}{x}.
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3\sqrt{x+\frac{1}{x}}=3\frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x}}.
Para eliminar o \sqrt{x} no denominador, uma substituição natural é \displaystyle x=t^2 (com t=\sqrt{x}, e t>0 se x>0). Agora calculamos cuidadosamente as transformações: \;x=t^2\Rightarrow dx=2t\,dt. Substituímos tudo na integral:
\int 3\sqrt{x+\frac{1}{x}}\,dx = \int 3\frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x}}\,dx = \int 3\frac{\sqrt{t^4+1}}{t}\cdot 2t\,dt
Observe que \sqrt{x^2+1}=\sqrt{t^4+1} e \sqrt{x}=t, por isso surgem esses termos. Simplificando os t:
\int 3\sqrt{x+\frac{1}{x}}\,dx = 6\int \sqrt{t^4+1}\,dt.
Portanto a integral fica reduzida a estudar \displaystyle \int \sqrt{t^4+1}\,dt.

Passo 3

Agora uma pequena explicação teórica: quando encontramos integrandos do tipo \sqrt{P(t)} com P(t) polinômio de grau 3 ou 4 (aqui P(t)=t^4+1, grau 4), normalmente a primitiva não pode ser expressa por funções elementares (polinômios, exponenciais, logaritmos, aritmética de potências, funções trigonométricas e suas inversas). Essas integrais entram numa classe chamada integrais elípticas — são expressas por funções especiais (funções elípticas ou integrais elípticas incompletas) ou por quadraturas (integral definida dependendo da variável). A razão técnica é ligada ao fato de que a curva algébrica y^2=t^4+1 tem gênero 1, e integrais sobre essas curvas dão origem a funções elípticas; resultado do teorema de Liouville / Risch mostra a não-existência, em geral, de primitivas elementares.
Em termos práticos de prova/exame: depois da redução para 6\int \sqrt{t^4+1}\,dt você deve justificar que essa integral não tem primitiva elementar e, portanto, apresentar a primitiva em forma de integral (quadratura) ou em termos de integrais elípticas. Para muitos exercícios esse é o objetivo — reconhecer a natureza do problema e fazer a redução correta.

Passo 4

Como solução prática e explícita, uma primitiva pode ser dada como uma integral dependente de x (i.e., uma primitiva definida por quadratura). Voltando à substituição t=\sqrt{x}, uma primitiva F(x) é
F(x)=6\int_{t_0}^{\sqrt{x}} \sqrt{u^4+1}\,du + C,
onde u é variável de integração e t_0 é algum ponto fixo do domínio (por exemplo t_0=0 funciona porque \sqrt{u^4+1} é contínua em u\ge0); a constante C é a constante de integração. Diferenciando F(x) pelo teorema fundamental do cálculo e pela cadeia t=\sqrt{x} recuperamos F'(x)=3\sqrt{x+\dfrac{1}{x}}, confirmando que é de fato uma primitiva.

Passo 5

Se quiser uma forma usando funções especiais: existe expressão em termos de integrais elípticas incompletas (funções E e F com determinado módulo), mas a forma é longa e não costuma ser exigida a menos que o enunciado peça explicitamente. O importante para a prova é:
  • fazer a substituição x=t^2 corretamente (passo algébrico),
  • reconhecer que surge \int \sqrt{t^4+1}\,dt,
  • afirmar que essa integral é elíptica (não-elementar),
  • e apresentar a primitiva como quadratura (integral dependente de \sqrt{x}).

Passo 6

Recapitulando com um tom prático e encorajador: você fez a parte “algébrica” que a prova espera (a substituição que simplifica a expressão) — isso já costuma ganhar muitos pontos. Se o examinador quiser forma fechada em funções elementares, pode haver um truque diferente no enunciado; mas aqui, do jeito que está, a resposta correta e bem justificada é reduzir para a integral elíptica e apresentar a primitiva por quadratura. Fica tranquilo: você fez corretamente a redução e explicou por que não existe primitiva elementar.

Resposta

F(x)=6\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{x}}\sqrt{u^{4}+1}\,du + C

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