Calcule as primitivas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as primitivas de
.\n
Informações relevantes que temos imediatamente:
Informações relevantes que temos imediatamente:
- A função integranda é
. - Para que a raiz quadrada seja real, precisamos de
. Em particular, a substituição que vamos usar torna mais claro trabalhar com (vou usar para simplificar a discussão; o argumento análogo vale em intervalos onde a expressão dentro da raiz seja não-negativa). - O que se pede é uma primitiva (função
tal que ). Nada foi pedido sobre uma forma específica (elementar) da primitiva, então é aceitável apresentar a primitiva em forma integral ou em termos de funções especiais se necessário.
Passo 2
Primeiro passo prático: tentar uma substituição que simplifique a presença de
no denominador quando reescrevemos a expressão. Reescrevo a radicanda:
Logo
Para eliminar o
no denominador, uma substituição natural é
(com
, e
se
). Agora calculamos cuidadosamente as transformações:
Substituímos tudo na integral:
Observe que
e
, por isso surgem esses termos. Simplificando os
:
Portanto a integral fica reduzida a estudar
Passo 3
Agora uma pequena explicação teórica: quando encontramos integrandos do tipo
com
polinômio de grau 3 ou 4 (aqui
, grau 4), normalmente a primitiva não pode ser expressa por funções elementares (polinômios, exponenciais, logaritmos, aritmética de potências, funções trigonométricas e suas inversas). Essas integrais entram numa classe chamada integrais elípticas — são expressas por funções especiais (funções elípticas ou integrais elípticas incompletas) ou por quadraturas (integral definida dependendo da variável). A razão técnica é ligada ao fato de que a curva algébrica
tem gênero 1, e integrais sobre essas curvas dão origem a funções elípticas; resultado do teorema de Liouville / Risch mostra a não-existência, em geral, de primitivas elementares.
Em termos práticos de prova/exame: depois da redução para
você deve justificar que essa integral não tem primitiva elementar e, portanto, apresentar a primitiva em forma de integral (quadratura) ou em termos de integrais elípticas. Para muitos exercícios esse é o objetivo — reconhecer a natureza do problema e fazer a redução correta.
Passo 4
Como solução prática e explícita, uma primitiva pode ser dada como uma integral dependente de
(i.e., uma primitiva definida por quadratura). Voltando à substituição
, uma primitiva
é
onde
é variável de integração e
é algum ponto fixo do domínio (por exemplo
funciona porque
é contínua em
); a constante
é a constante de integração. Diferenciando
pelo teorema fundamental do cálculo e pela cadeia
recuperamos
, confirmando que é de fato uma primitiva.
Passo 5
Se quiser uma forma usando funções especiais: existe expressão em termos de integrais elípticas incompletas (funções E e F com determinado módulo), mas a forma é longa e não costuma ser exigida a menos que o enunciado peça explicitamente. O importante para a prova é:
- fazer a substituição
corretamente (passo algébrico), - reconhecer que surge
, - afirmar que essa integral é elíptica (não-elementar),
- e apresentar a primitiva como quadratura (integral dependente de
).
Passo 6
Recapitulando com um tom prático e encorajador: você fez a parte “algébrica” que a prova espera (a substituição que simplifica a expressão) — isso já costuma ganhar muitos pontos. Se o examinador quiser forma fechada em funções elementares, pode haver um truque diferente no enunciado; mas aqui, do jeito que está, a resposta correta e bem justificada é reduzir para a integral elíptica e apresentar a primitiva por quadratura. Fica tranquilo: você fez corretamente a redução e explicou por que não existe primitiva elementar.