Esboce o gráfico da curva descrita por um ponto móvel P(x, y), quando o parâmetro t varia no intervalo dado. Além disso, determine a equação cartesiana da curva em cada um dos itens: b) cx=4 cos (t) y=4 sen(t), 0 <= t <= 2 pi ; c) z=2cx=t+1 y=t^2+4,-infty;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar o gráfico de uma curva definida por um ponto móvel quando o parâmetro varia em certos intervalos. Além disso, precisamos encontrar a equação cartesiana da curva para cada item. Vamos focar nos itens b e c.
Aqui, estamos lidando com funções paramétricas, onde e são expressos em termos de um parâmetro . Para resolver, vamos precisar entender como eliminar o parâmetro e relacionar e diretamente.

Passo 2

Vamos começar com o item b:
x = 4 cos(t) y = 4 sin(t) 0 <= t <= 2pi z = 2
Aqui, temos as coordenadas e em termos de , e é constante em 2. Como não varia, a curva está em um plano paralelo ao eixo a uma altura de 2 unidades.

Passo 3

Para encontrar a equação cartesiana, queremos relacionar cos^2(t) + sin^2(t) = 1 e ( x4 )^2 + ( y4 )^2 = cos^2(t) + sin^2(t) = 1 sem o x^216 + y^216 = 1 Rightarrow x^2 + y^2 = 16 . Sabemos que:
Vamos usar as expressões para e :
Simplificando:
Essa é a equação de um círculo com raio 4 e centro na origem.

Passo 4

Agora, vamos esboçar o gráfico da curva do item b. Como a equação representa um círculo de raio 4, e , a curva é um círculo no plano .

Passo 5

Vamos passar para o item c:
x = t + 1 y = t^2 + 4 -infty < t < +infty z = 2
Novamente, é constante em 2. Aqui, e são funções quadráticas e lineares de . Precisamos relacionar e sem .

Passo 6

Para eliminar o parâmetro t = x - 1 , observamos que y = (x - 1)^2 + 4 . Podemos resolver essa equação para y = x^2 - 2x + 1 + 4 = x^2 - 2x + 5 :
Agora, substituímos na equação de :
Expandindo:
Essa é a equação cartesiana da curva.

Passo 7

Vamos esboçar o gráfico da curva do item c. A equação representa uma parábola que abre para cima, deslocada para a direita e para cima no plano .

Resposta

Item b: A equação cartesiana é e a curva é um círculo de raio 4 no plano .
Item c: A equação cartesiana é e a curva é uma parábola no plano .

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