Calcule a probabilidade de que uma mão de 13 cartas contenha
a) um ás e um rei de cada naipe;
b) pelo menos um grupo de quatro cartas do mesmo valor dos treze valores possíveis?

Passo 1

O enunciado pede duas probabilidades numa mão de 13 cartas extraídas sem reposição de um baralho de 52 cartas: a) conter um ás e um rei de cada naipe; b) conter pelo menos um grupo de quatro cartas do mesmo valor (quatro do mesmo rank) entre os treze. Vamos usar combinatória básica e probabilidade clássica (hipergeométrica).

Passo 2

O número total de mãos possíveis de 13 cartas é
binom5213

Passo 3

Para o item (a), queremos que as oito cartas fixas (ás e rei de cada um dos quatro naipes) estejam na mão. As outras 5 cartas podem ser quaisquer das 44 restantes. Assim o número de mãos favoráveis é
binom445
Logo,
P(ás e rei de cada naipe)=binom445binom5213 á

Passo 4

Para o item (b), definimos para cada valor (rank) i o evento A_i = “a mão contém os 4 cards do rank i”. Queremos P(\cup_{i=1}^{13}A_i). Como esses eventos não são disjuntos, usamos inclusão–exclusão até k=3 (pois 4·4>13):
#Ai=binom489, #(Aicap Aj)=binom445, #(Aicap Ajcap Ak)=binom401
Pelo princípio de inclusão–exclusão, o número de mãos com pelo menos um 4-of-a-kind é
sumk=1^3(-1)^k+1binom13kbinom52-4k13-4k
Assim,
P(ao menos um grupo de 4 iguais)=sumk=1^3(-1)^k+1binom13kbinom52-4k13-4kbinom5213

Resposta

(a) binom445binom5213
(b) sumk=1^3(-1)^k+1binom13kbinom52-4k13-4kbinom5213

Exercícios relacionados