Um professor possui um chaveiro com 15
chaves. Se consideramos que ele escolhe as chaves de modo aleatório.
a) Qual a probabilidade dele abrir a porta exatamente na sétima tentativa se considerarmos que ele não descarta as chaves já tentadas?
b) Qual a probabilidade dele abrir a porta exatamente na sétima tentativa se considerarmos que ele descarta as chaves já tentadas?
c) Qual a probabilidade dele abrir a porta antes de 7 tentativas, se considerarmos que ele descarta as chaves já tentadas?
d) Qual a probabilidade dele abrir a porta antes de 7 tentativas, se considerarmos que ele não descarta as chaves já tentadas?
e) Qual a probabilidade dele abrir a porta antes de k tentativas, se considerarmos que ele descarta as chaves já tentadas?
f) Qual a probabilidade dele abrir a porta antes de k tentativas, se considerarmos que ele não descarta as chaves já tentadas?

Passo 1

O enunciado pede as probabilidades de abrir a porta em certas tentativas considerando dois cenários: ele pode escolher chaves sem descartar (com reposição) ou descartando as já tentadas (sem reposição). Vamos usar conceitos de distribuição geométrica para o caso com reposição e de escolha uniforme em permutações para o caso sem reposição.

Passo 2

Quando ele não descarta as chaves, cada tentativa é independente com probabilidade de sucesso constante p=1/15. Isso define uma distribuição geométrica, onde a probabilidade de primeiro sucesso na n-ésima tentativa é dado por
P(X=n)=(1-p)^n-1,p

Passo 3

Para a) queremos P(X=7) no modelo com reposição. Substituindo p=1/15 e n=7:
P(X=7)=l(1-tfrac115r)^6cdottfrac115=l(tfrac1415r)^6cdottfrac115

Passo 4

No caso sem reposição, ele está gerando uma permutação aleatória das 15 chaves. A chance de a chave certa estar exatamente na posição n é uniforme, ou seja,
P(X=n)=115

Passo 5

Para b) no modelo sem reposição e n=7, temos simplesmente
P(X=7)=115

Passo 6

Ainda sem reposição, a probabilidade de abrir antes da 7ª tentativa significa que a chave certa está em uma das primeiras 6 posições. Como cada posição tem chance 1/15,
P(antes de 7)=615=25

Passo 7

De volta ao modelo com reposição, a probabilidade de abrir antes da 7ª tentativa é o complemento de não abrir nas primeiras 6:
P(antes de 7)=1-P(X>6)=1-l(tfrac1415r)^6

Passo 8

Para o caso geral sem reposição e antes de k tentativas, basta contar as posições de 1 até k-1, cada uma com probabilidade 1/15:
P(antes de k)=k-115

Passo 9

No modelo com reposição, antes de k tentativas significa não ter sucesso nas primeiras k-1 e depois
o complemento é
P(antes de k)=1-l(1-tfrac115r)^k-1=1-l(tfrac1415r)^k-1

Resposta

a) l(14/15r)^6cdot(1/15)
b) 1/15
c) 6/15=2/5
d) 1-(14/15)^6
e) (k-1)/15
f) 1-(14/15)^k-1

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