Um professor possui um chaveiro com 15
chaves. Se consideramos que ele escolhe as chaves de modo aleatório.
a) Qual a probabilidade dele abrir a porta exatamente na sétima tentativa se considerarmos que ele não descarta as chaves já tentadas?
b) Qual a probabilidade dele abrir a porta exatamente na sétima tentativa se considerarmos que ele descarta as chaves já tentadas?
c) Qual a probabilidade dele abrir a porta antes de 7 tentativas, se considerarmos que ele descarta as chaves já tentadas?
d) Qual a probabilidade dele abrir a porta antes de 7 tentativas, se considerarmos que ele não descarta as chaves já tentadas?
e) Qual a probabilidade dele abrir a porta antes de
tentativas, se considerarmos que ele descarta as chaves já tentadas?
f) Qual a probabilidade dele abrir a porta antes de k tentativas, se considerarmos que ele não descarta as chaves já tentadas?
chaves. Se consideramos que ele escolhe as chaves de modo aleatório.
a) Qual a probabilidade dele abrir a porta exatamente na sétima tentativa se considerarmos que ele não descarta as chaves já tentadas?
b) Qual a probabilidade dele abrir a porta exatamente na sétima tentativa se considerarmos que ele descarta as chaves já tentadas?
c) Qual a probabilidade dele abrir a porta antes de 7 tentativas, se considerarmos que ele descarta as chaves já tentadas?
d) Qual a probabilidade dele abrir a porta antes de 7 tentativas, se considerarmos que ele não descarta as chaves já tentadas?
e) Qual a probabilidade dele abrir a porta antes de
f) Qual a probabilidade dele abrir a porta antes de k tentativas, se considerarmos que ele não descarta as chaves já tentadas?
Passo 1
O enunciado pede as probabilidades de abrir a porta em certas tentativas considerando dois cenários: ele pode escolher chaves sem descartar (com reposição) ou descartando as já tentadas (sem reposição). Vamos usar conceitos de distribuição geométrica para o caso com reposição e de escolha uniforme em permutações para o caso sem reposição.
Passo 2
Quando ele não descarta as chaves, cada tentativa é independente com probabilidade de sucesso constante
. Isso define uma distribuição geométrica, onde a probabilidade de primeiro sucesso na
-ésima tentativa é dado por
Passo 3
Para a) queremos
no modelo com reposição. Substituindo
e
:
Passo 4
No caso sem reposição, ele está gerando uma permutação aleatória das 15 chaves. A chance de a chave certa estar exatamente na posição
é uniforme, ou seja,
Passo 5
Para b) no modelo sem reposição e
, temos simplesmente
Passo 6
Ainda sem reposição, a probabilidade de abrir antes da 7ª tentativa significa que a chave certa está em uma das primeiras 6 posições. Como cada posição tem chance
,
Passo 7
De volta ao modelo com reposição, a probabilidade de abrir antes da 7ª tentativa é o complemento de não abrir nas primeiras 6:
Passo 8
Para o caso geral sem reposição e antes de
tentativas, basta contar as posições de 1 até
, cada uma com probabilidade
:
Passo 9
No modelo com reposição, antes de
tentativas significa não ter sucesso nas primeiras
e depois
o complemento é
o complemento é
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
b)
c)
d)
e)
f)