De quantas maneiras pode ocorrer que num grupo com 25 pessoas 2 ou mais pessoas façam aniversário no mesmo dia.

Passo 1

A questão pede para contar de quantas maneiras, num grupo de 25 pessoas, pelo menos duas façam aniversário no mesmo dia. Vamos usar técnica de contagem e o princípio da contagem complementar (ou seja, contar o total de possibilidades e subtrair as que não têm colisões de aniversários).

Passo 2

Primeiro, contamos o número total de formas de atribuir uma data de aniversário (supondo 365 dias possíveis) a cada uma das 25 pessoas, sem nenhuma restrição. Como cada pessoa pode escolher um dos 365 dias, o total é
365^25

Passo 3

Em seguida, contamos quantas atribuições não têm nenhuma data repetida (ou seja, todas as 25 pessoas fazem aniversário em dias distintos). Isso é uma permutação de 365 elementos tomados 25 a 25, dado por
P(365,25)=365!(365-25)!

Passo 4

Finalmente, pela contagem complementar, o número de casos em que aparece pelo menos um dia com 2 ou mais aniversariantes é o total menos o número de atribuições sem repetição. Assim obtemos:
365^25;- 365!(365-25)!

Resposta

365^25 - 365!(365-25)!

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