Calcule a probabilidade da soma de dois dados:
a) ser um múltiplo de 3 (R.:1/3)
b) não ser um múltiplo de 3 (R.: 2/3)
c) ser menor do que 5 (R.: 1/6)
d) ser maior ou igual a 5 (R.: 5/6)
e) ser par (R.:
)
f) ser menor do que 5 , dado que é par (R.: 4/18)
g) ser par, dado que é menor do 5 (R.: 2/3)
h) ser menor do que 5 e par (R.: 1/9)
i) ser menor do que 5 ou par (R.: 5/9)
Sugestão: utilize o Espaço Amostral definido no exercício dos dados apresentado em aula.
a) ser um múltiplo de 3 (R.:1/3)
b) não ser um múltiplo de 3 (R.: 2/3)
c) ser menor do que 5 (R.: 1/6)
d) ser maior ou igual a 5 (R.: 5/6)
e) ser par (R.:
f) ser menor do que 5 , dado que é par (R.: 4/18)
g) ser par, dado que é menor do 5 (R.: 2/3)
h) ser menor do que 5 e par (R.: 1/9)
i) ser menor do que 5 ou par (R.: 5/9)
Passo 1
O enunciado pede para calcular várias probabilidades ligadas à soma de dois dados justos de seis faces. O conteúdo envolvido é teoria básica de probabilidade com espaço amostral equiprovável, complementos, regras da adição e probabilidade condicional. Vamos usar que o espaço amostral é \(
\Omega = {(i,j) : i,j \in {1,2,3,4,5,6\}},) com $\lvert\Omega\rvert=6\times6=36$.
\Omega = {(i,j) : i,j \in {1,2,3,4,5,6\}},) com $\lvert\Omega\rvert=6\times6=36$.
Passo 2
Para a soma ser múltiplo de 3, identificamos os valores possíveis: 3, 6, 9 e 12. Contamos as ocorrências de cada um: soma 3 em 2 resultados, soma 6 em 5 resultados, soma 9 em 4 resultados e soma 12 em 1 resultado, totalizando 12 casos favoráveis. Logo,
Passo 3
A probabilidade de não ser múltiplo de 3 é o complemento do evento anterior. Assim,
Passo 4
Para a soma ser menor do que 5, os valores possíveis são 2, 3 e 4. Contamos: soma 2 em 1 resultado, soma 3 em 2 resultados e soma 4 em 3 resultados, total de 6 casos. Então
Passo 5
A probabilidade de a soma ser maior ou igual a 5 é o complemento de soma < 5. Logo
Passo 6
Para a soma ser par, precisamos que os dois números sejam ambos pares ou ambos ímpares. Há 3 faces pares e 3 ímpares em cada dado. Assim:
- casos ambos pares:
- casos ambos ímpares:
Total de casos favoráveis = 18. Então
Passo 7
Para calcular
$P(soma<5 \mid soma par)$, usamos a definição de probabilidade condicional
$P(soma<5 \mid soma par)$, usamos a definição de probabilidade condicional
Aqui A = soma par (18/36) e B = soma < 5 e par. Já contamos que soma < 5 e par ocorre em 4 casos ((2,),(4,) etc.), ou seja, $P(A\cap B)=4/36$. Então
Passo 8
Para
$P(soma par \mid soma<5)$, fazemos novamente condicional, agora A = soma < 5 (6/36) e B = soma < 5 e par (4/36). Logo
$P(soma par \mid soma<5)$, fazemos novamente condicional, agora A = soma < 5 (6/36) e B = soma < 5 e par (4/36). Logo
Passo 9
Para a probabilidade conjunta de soma < 5 e par, já vimos que há 4 casos em 36. Então
Passo 10
Para soma < 5 ou par usamos a regra da adição:
Com P(soma<5)=6/36, P(par)=18/36 e P(<5 e par)=4/36, temos
Passo 11
Em resumo, as probabilidades pedidas são:
Passo 12
a)
, b)
, c)
, d)
, e)
, f)
, g)
, h)
, i)
.
Resposta
a)
, b)
, c)
, d)
, e)
, f)
, g)
, h)
, i)