Calcule a probabilidade de que o vendedor faça no máximo seis visitas para concluir as duas vendas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a probabilidade de que um vendedor consiga fazer duas vendas em no máximo seis visitas. Isso está dentro do conteúdo de probabilidade, mais especificamente lidando com distribuições de probabilidade que contam quantas tentativas são necessárias para alcançar um certo número de sucessos. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular probabilidades acumuladas para eventos que dependem de múltiplas tentativas, usando fórmulas matemáticas que representam essas situações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “fazer no máximo seis visitas para concluir as duas vendas”. Isso quer dizer que o vendedor pode fazer 2, 3, 4, 5 ou 6 visitas para realizar as duas vendas. Queremos saber a soma das probabilidades de cada uma dessas situações acontecer.

Passo 3

Vamos considerar que cada visita é independente e que a probabilidade de conseguir uma venda em uma visita é $ p $. Para calcular a probabilidade de conseguir exatamente duas vendas em até seis visitas, usamos a distribuição Negativa Binomial. Essa distribuição nos ajuda a calcular a probabilidade de obter um certo número de sucessos (vendas) em um número específico de tentativas (visitas).

Passo 4

A fórmula da distribuição Negativa Binomial para exatamente $ k $ visitas é:
k
onde:
  • $ \binom{k-1}{r-1} $ é a combinação que calcula de quantas formas podemos ter $ r-1 $ sucessos nas primeiras $ k-1 $ tentativas,
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa,
  • $ r $ é o número de sucessos desejados (neste caso, 2 vendas),
  • $ k $ é o número total de visitas.

Passo 5

Como queremos até seis visitas, vamos calcular $ P(X \leq 6) $, que é a soma das probabilidades de conseguir as duas vendas em 2, 3, 4, 5 ou 6 visitas:
P(X <= 6)

Passo 6

Substituindo na fórmula:
P(X <= 6) = sumk=2^6 binomk-11 cdot p^2 cdot (1-p)^k-2
Isso significa que vamos somar as probabilidades para cada caso de 2 a 6 visitas.

Passo 7

Vamos calcular cada termo individualmente:
  • Para $ k = 2 $:
k = 2
  • Para $ k = 3 $:
P(X = 2) = binom11 cdot p^2 cdot (1-p)^0 = 1 cdot p^2 cdot 1 = p^2
  • Para $ k = 4 $:
k = 3
  • Para $ k = 5 $:
P(X = 3) = binom21 cdot p^2 cdot (1-p)^1 = 2 cdot p^2 cdot (1-p)
  • Para $ k = 6 $:
k = 4

Passo 8

Agora, somamos todos esses valores:
P(X <= 6) = p^2 + 2p^2(1-p) + 3p^2(1-p)^2 + 4p^2(1-p)^3 + 5p^2(1-p)^4

Passo 9

Podemos fatorar $ p^2 $ para simplificar:
p^2

Passo 10

Essa expressão representa a probabilidade acumulada de conseguir duas vendas em até seis visitas. Se conhecermos o valor de $ p $, podemos substituir e calcular o valor numérico.

Resposta

A probabilidade de que o vendedor faça no máximo seis visitas para concluir as duas vendas é:
P(X <= 6) = p^2 [1 + 2(1-p) + 3(1-p)^2 + 4(1-p)^3 + 5(1-p)^4]

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