Um vendedor de porta em porta consegue realizar a venda em
das visitas que faz. Ele planeja efetuar no mínimo duas vendas por dia. Seja
o número de visitas feitas até que a segunda venda seja efetivada.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos um vendedor que faz visitas de porta em porta e consegue vender em 40% das vezes que visita. Ele quer realizar pelo menos duas vendas por dia. A gente vai trabalhar com uma variável chamada $ X $, que representa o número de visitas que ele precisa fazer até conseguir a segunda venda.
Matéria envolvida: Probabilidade, especificamente Distribuição Binomial e Distribuição Geométrica (no caso, uma combinação que forma a Distribuição Binomial Negativa).
O que precisamos para resolver: Entender como calcular a probabilidade de conseguir a segunda venda em um certo número de visitas, utilizando a Distribuição Binomial Negativa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que cada visita é um evento independente, ou seja, o resultado de uma visita não afeta as outras. A probabilidade de sucesso (vender) em cada visita é $ p = 0,4 $ e a probabilidade de falha (não vender) é $ q = 1 - p = 0,6 $.
Passo 3
Como queremos saber quantas visitas são necessárias para conseguir a segunda venda, estamos lidando com uma situação onde queremos o número de tentativas até o segundo sucesso. Isso se chama Distribuição Binomial Negativa.
Passo 4
A fórmula da Distribuição Binomial Negativa para exatamente $ k $ falhas antes do segundo sucesso é:
Aqui, $ k $ é o número de falhas, e $ k + 2 $ é o número total de visitas (incluindo os dois sucessos).
Passo 5
Para encontrar o valor esperado $ E(X) $, ou seja, o número médio de visitas necessárias para conseguir duas vendas, usamos a fórmula:
Onde $ r $ é o número de sucessos desejados (no caso, 2) e $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Resposta
O número médio de visitas que o vendedor precisa fazer para realizar a segunda venda é 5 visitas.