Em uma pizzaria com entrega em domicílio,
dos pedidos por telefone são de mais de uma pizza. Certo dia, o dono decide mandar um brinde ao cliente que fizer o primeiro pedido com mais de uma pizza. Seja
o número de pedidos recebidos até o ganhador do brinde.
Passo 1
Beleza! Vamos resumir o que a questão está dizendo. Temos uma pizzaria que recebe pedidos por telefone, e 30% desses pedidos são de mais de uma pizza. O dono decide que vai mandar um brinde para o primeiro cliente que fizer um pedido com mais de uma pizza. A gente chama de X o número de pedidos que a pizzaria recebe até encontrar esse primeiro pedido com mais de uma pizza.
Conteúdo: Distribuição Geométrica.
O que vamos precisar:
- Entender o que é uma distribuição geométrica.
- Saber calcular probabilidades usando essa distribuição.
- Calcular a expectativa (valor esperado) de X.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Distribuição Geométrica. Ela é usada para modelar o número de tentativas que precisamos fazer até obter o primeiro sucesso em uma sequência de experimentos independentes, onde cada tentativa tem a mesma probabilidade de sucesso.
No nosso caso:
- Sucesso: Receber um pedido com mais de uma pizza.
- Probabilidade de sucesso §: 30% ou 0,3.
- Número de tentativas até o primeiro sucesso (X): É o que queremos encontrar.
Passo 3
A fórmula para a probabilidade de que X seja igual a k tentativas é:
Isso significa que precisamos k-1 tentativas sem sucesso (pedidos de uma pizza) e na k-ésima tentativa, ocorre um sucesso (pedido de mais de uma pizza).
Passo 4
Vamos calcular a probabilidade de que o primeiro pedido com mais de uma pizza seja o 4º pedido. Ou seja, P(X = 4).
Usando a fórmula:
Calculando:
Então, P(X = 4) ≈ 0,1029 ou 10,29%.
Passo 5
Agora, vamos calcular a esperança matemática ou valor esperado de X, que nos diz, em média, quantos pedidos a pizzaria recebe até encontrar o primeiro pedido com mais de uma pizza.
A fórmula para o valor esperado da distribuição geométrica é:
Substituindo p = 0,3:
Isso significa que, em média, a pizzaria recebe aproximadamente 3,33 pedidos até encontrar o primeiro pedido com mais de uma pizza.
Resposta
A expectativa do número de pedidos até o primeiro pedido com mais de uma pizza é aproximadamente 3,33 pedidos.