Em uma pizzaria com entrega em domicílio, 30 % dos pedidos por telefone são de mais de uma pizza. Certo dia, o dono decide mandar um brinde ao cliente que fizer o primeiro pedido com mais de uma pizza. Seja X o número de pedidos recebidos até o ganhador do brinde.

Passo 1

Beleza! Vamos resumir o que a questão está dizendo. Temos uma pizzaria que recebe pedidos por telefone, e 30% desses pedidos são de mais de uma pizza. O dono decide que vai mandar um brinde para o primeiro cliente que fizer um pedido com mais de uma pizza. A gente chama de X o número de pedidos que a pizzaria recebe até encontrar esse primeiro pedido com mais de uma pizza.
Conteúdo: Distribuição Geométrica.
O que vamos precisar:
  • Entender o que é uma distribuição geométrica.
  • Saber calcular probabilidades usando essa distribuição.
  • Calcular a expectativa (valor esperado) de X.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Distribuição Geométrica. Ela é usada para modelar o número de tentativas que precisamos fazer até obter o primeiro sucesso em uma sequência de experimentos independentes, onde cada tentativa tem a mesma probabilidade de sucesso.
No nosso caso:
  • Sucesso: Receber um pedido com mais de uma pizza.
  • Probabilidade de sucesso §: 30% ou 0,3.
  • Número de tentativas até o primeiro sucesso (X): É o que queremos encontrar.

Passo 3

A fórmula para a probabilidade de que X seja igual a k tentativas é:
P(X = k) = (1 - p)^k-1 times p
Isso significa que precisamos k-1 tentativas sem sucesso (pedidos de uma pizza) e na k-ésima tentativa, ocorre um sucesso (pedido de mais de uma pizza).

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade de que o primeiro pedido com mais de uma pizza seja o 4º pedido. Ou seja, P(X = 4).
Usando a fórmula:
P(X = 4) = (1 - 0,3)^4-1 times 0,3 = (0,7)^3 times 0,3
Calculando:
(0,7)^3 = 0,343
0,343 times 0,3 = 0,1029
Então, P(X = 4) ≈ 0,1029 ou 10,29%.

Passo 5

Agora, vamos calcular a esperança matemática ou valor esperado de X, que nos diz, em média, quantos pedidos a pizzaria recebe até encontrar o primeiro pedido com mais de uma pizza.
A fórmula para o valor esperado da distribuição geométrica é:
E(X) = 1p
Substituindo p = 0,3:
E(X) = 10,3 ≈ 3,33
Isso significa que, em média, a pizzaria recebe aproximadamente 3,33 pedidos até encontrar o primeiro pedido com mais de uma pizza.

Resposta

A expectativa do número de pedidos até o primeiro pedido com mais de uma pizza é aproximadamente 3,33 pedidos.

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