Se
é uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo (
), calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício diz que $ X $ é uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo
. Estamos lidando com Distribuições de Probabilidade, especificamente a Distribuição Uniforme. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição uniforme contínua, suas propriedades como a função de densidade de probabilidade (PDF), valor esperado e variância.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição uniforme contínua. Nessa distribuição, todos os valores dentro do intervalo
têm a mesma probabilidade de ocorrência. Isso significa que a função de densidade de probabilidade $ f(x) $ é constante nesse intervalo.
A fórmula para a função de densidade de probabilidade da distribuição uniforme é:
No nosso caso, $ a = -3 $ e $ b = 7 $.
Passo 3
Vamos calcular a função de densidade de probabilidade $ f(x) $ para $ X $:
Então, a densidade de probabilidade é constante e igual a 0,1 no intervalo
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor esperado $ E(X) $ da variável aleatória $ X $. Na distribuição uniforme, o valor esperado é simplesmente a média dos limites do intervalo:
Substituindo os valores:
Passo 5
Por fim, vamos calcular a variância $ Var(X) $ de $ X $. A fórmula para a variância na distribuição uniforme é:
Substituindo $ a = -3 $ e $ b = 7 $:
Resposta
- Função de Densidade de Probabilidade (PDF): $ f(x) = 0,1 $ para $ -3 \leq x \leq 7 $.
- Valor Esperado (E(X)): $ 2 $.
- Variância (Var(X)): Aproximadamente $ 8,33 $.