Se X é uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo ( -3,7 ), calcule:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício diz que $ X $ é uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo X . Estamos lidando com Distribuições de Probabilidade, especificamente a Distribuição Uniforme. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição uniforme contínua, suas propriedades como a função de densidade de probabilidade (PDF), valor esperado e variância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição uniforme contínua. Nessa distribuição, todos os valores dentro do intervalo (a, b) têm a mesma probabilidade de ocorrência. Isso significa que a função de densidade de probabilidade $ f(x) $ é constante nesse intervalo.
A fórmula para a função de densidade de probabilidade da distribuição uniforme é:
f(x) á
No nosso caso, $ a = -3 $ e $ b = 7 $.

Passo 3

Vamos calcular a função de densidade de probabilidade $ f(x) $ para $ X $:
f(x)
Então, a densidade de probabilidade é constante e igual a 0,1 no intervalo X .

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor esperado $ E(X) $ da variável aleatória $ X $. Na distribuição uniforme, o valor esperado é simplesmente a média dos limites do intervalo:
E(X)
Substituindo os valores:
X

Passo 5

Por fim, vamos calcular a variância $ Var(X) $ de $ X $. A fórmula para a variância na distribuição uniforme é:
Var(X)
Substituindo $ a = -3 $ e $ b = 7 $:
X

Resposta

  • Função de Densidade de Probabilidade (PDF): $ f(x) = 0,1 $ para $ -3 \leq x \leq 7 $.
  • Valor Esperado (E(X)): $ 2 $.
  • Variância (Var(X)): Aproximadamente $ 8,33 $.

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