Setenta por cento da população de uma cidade têm computador em casa. Se um pesquisador procura por munícipes ao acaso na rua até encontrar uma pessoa que tenha computador em casa, qual a probabilidade de que ele precise:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente sabe que 70% da população de uma cidade tem computador em casa. O pesquisador está procurando pessoas na rua até achar alguém com computador. Vamos usar probabilidade para descobrir qual a chance de ele precisar procurar uma certa quantidade de pessoas para encontrar essa primeira pessoa com computador.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a distribuição geométrica. Ela é usada quando queremos saber a probabilidade de obter o primeiro sucesso em uma série de tentativas independentes. No nosso caso, um “sucesso” é encontrar alguém com computador.
Passo 3
Aqui, a probabilidade de sucesso (encontrar alguém com computador) é de 70%, ou seja, $ p = 0.7 $. A probabilidade de falha (não encontrar alguém com computador) é $ q = 1 - p = 0.3 $.
Passo 4
A fórmula da distribuição geométrica é:
Onde:
- $ P(X = k) $ é a probabilidade de precisar de $ k $ tentativas para encontrar o primeiro sucesso.
- $ q^{k-1} $ é a probabilidade de falhar nas primeiras $ k-1 $ tentativas.
- $ p $ é a probabilidade de sucesso na $ k $-ésima tentativa.
Passo 5
Vamos aplicar a fórmula. Por exemplo, se quisermos saber a probabilidade de o pesquisador precisar procurar 3 pessoas para encontrar a primeira com computador:
Ou seja, há 6,3% de chance disso acontecer.
Passo 6
Se a questão pedir a probabilidade para diferentes valores de $ k $, basta substituir na fórmula. Por exemplo, para $ k = 1 $:
Então, há 70% de chance de encontrar alguém com computador na primeira tentativa.
Passo 7
Também podemos calcular a probabilidade de precisar de no máximo $ k $ tentativas, somando as probabilidades de $ X = 1 $ até $ X = k $.
Resposta
A probabilidade de que o pesquisador precise procurar $ k $ pessoas para encontrar a primeira com computador é dada por: