Calcule os problemas de valores iniciais dados.
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=0, y(0)=1 e y^{\prime}(0)=-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 3y' + 2y = 0,\quad y(0)=1,\quad y'(0)=-2.
O conteúdo envolvido é equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o polinômio característico para encontrar a solução geral e então aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Formamos o polinômio característico trocando y\mapsto e^{rx}:
r^2 + 3r + 2 = 0.
Para resolver, usamos a fórmula de Bhaskara:
r = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{-3 \pm 1}{2}.
Assim, obtemos as raízes
r_1 = -1, \quad r_2 = -2.

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é
y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}.

Passo 4

Para aplicar a condição sobre y'(0), derivamos a solução geral:
y'(x) = -C_1 e^{-x} - 2C_2 e^{-2x}.

Passo 5

Agora impomos as condições iniciais em x=0:
y(0)=1 \implies C_1 + C_2 = 1,
y'(0)=-2 \implies -C_1 - 2C_2 = -2.

Passo 6

Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = 1,\\\\ - C_1 -2C_2 = -2, \end{cases}
somando as duas equações (ou substituindo), achamos
C_2 = 1, \quad C_1 = 0.

Passo 7

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, fica
y(x) = 0\cdot e^{-x} + 1\cdot e^{-2x} = e^{-2x}.

Resposta

y(x) = e^{-2x}.

Exercícios relacionados