Calcule os problemas de valores iniciais dados.
e
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Este é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método das soluções homogênea + particular e depois impor as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro achamos a solução homogênea
. A equação característica é
que é
. Logo temos raiz dupla
, e
Passo 3
Em seguida buscamos uma solução particular
para o lado direito
. Como
é raiz dupla da homogênea, usamos o ansatz com multiplicação por
:
Calculamos as derivadas:
Substituindo em
obtemos
Para que seja igual a
precisamos de
, ou seja
.
Passo 4
A solução geral é
Agora aplicamos as condições iniciais.
Passo 5
Em
temos
, logo
Para
, use a regra do produto:
Em
dá
Como
e
, segue
Resposta
A solução do problema de valor inicial é