Calcule os problemas de valores iniciais dados.
y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+9 y=e^{-3 t}, y(0)=1 e y^{\prime}(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 6y' + 9y = e^{-3t},\quad y(0)=1,\quad y'(0)=2
Este é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método das soluções homogênea + particular e depois impor as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro achamos a solução homogênea y_h. A equação característica é
r^2 + 6r + 9 = 0
que é (r+3)^2=0. Logo temos raiz dupla r=-3, e
y_h(t) = C_1 e^{-3t} + C_2\,t\,e^{-3t}.

Passo 3

Em seguida buscamos uma solução particular y_p para o lado direito e^{-3t}. Como -3 é raiz dupla da homogênea, usamos o ansatz com multiplicação por t^2:
y_p(t) = A\,t^2\,e^{-3t}.
Calculamos as derivadas:
y_p' = A\,e^{-3t}\bigl(2t - 3t^2\bigr), \quad y_p'' = A\,e^{-3t}\bigl(2 - 12t + 9t^2\bigr).
Substituindo em y''+6y'+9y obtemos
A\,e^{-3t}\bigl(2 - 12t + 9t^2\bigr) +6A\,e^{-3t}\bigl(2t - 3t^2\bigr) +9A\,t^2\,e^{-3t} =2A\,e^{-3t}.
Para que seja igual a e^{-3t} precisamos de 2A=1, ou seja A=\tfrac12.

Passo 4

A solução geral é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{-3t} + C_2\,t\,e^{-3t} + \tfrac12\,t^2\,e^{-3t} = e^{-3t}\Bigl(C_1 + C_2\,t + \tfrac{t^2}{2}\Bigr).
Agora aplicamos as condições iniciais.

Passo 5

Em t=0 temos y(0)=1, logo
y(0) = e^0\Bigl(C_1 + 0 + 0\Bigr) = C_1 = 1.
Para y'(t), use a regra do produto:
y'(t) = e^{-3t}\bigl((C_2 + t) -3(C_1 + C_2 t + \tfrac{t^2}{2})\bigr).
Em t=0
y'(0) = (C_2 + 0) -3(C_1 + 0 + 0) = C_2 -3C_1 = C_2 -3.
Como y'(0)=2 e C_1=1, segue
C_2 -3 = 2 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = 5.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
\boxed{y(t) = e^{-3t}\Bigl(1 + 5t + \tfrac{t^2}{2}\Bigr).}

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