Calcule os problemas de valores iniciais dados.
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+13 y=2, y(0)=0 e y^{\prime}(0)=2

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
y'' + 4y' + 13y = 2, \quad y(0)=0,\quad y'(0)=2.
Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo constante. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral da parte homogênea e uma solução particular, e depois ajustar as constantes pelos valores iniciais.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' + 4y' + 13y = 0.
A equação característica é
r^2 + 4r + 13 = 0,
cuja solução é
r = -2 \pm 3\,\mathrm{i}.
Logo a solução geral homogênea é
y_h(t) = e^{-2t}\bigl(A\cos(3t) + B\sin(3t)\bigr).

Passo 3

Para a parte particular, como o termo forçante é constante, tentamos y_p = C. Substituindo em y''+4y'+13y=2 obtemos
0 + 0 + 13C = 2 \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{2}{13}.
Portanto,
y_p(t) = \frac{2}{13}.

Passo 4

A solução geral da EDO não homogênea é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = e^{-2t}\bigl(A\cos(3t) + B\sin(3t)\bigr) + \frac{2}{13}.

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais. Primeiro,
y(0) = A + \frac{2}{13} = 0 \quad\Longrightarrow\quad A = -\frac{2}{13}.
Em seguida, calculamos y'(t). Derivando y_h:
y'(t) = e^{-2t}\bigl((-2A+3B)\cos(3t) +(-2B-3A)\sin(3t)\bigr).
Logo,
y'(0) = -2A + 3B = 2.
Substituindo A = -\tfrac{2}{13}:
-2\bigl(-\tfrac{2}{13}\bigr) + 3B = 2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{4}{13} + 3B = 2 \quad\Longrightarrow\quad 3B = \frac{22}{13} \quad\Longrightarrow\quad B = \frac{22}{39}.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
\boxed{ y(t) = e^{-2t}\Bigl(-\tfrac{2}{13}\cos(3t) + \tfrac{22}{39}\sin(3t)\Bigr) + \frac{2}{13}. }

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